Fonctions · Fiche N°58 / 80

Modéliser une situation par une fonction

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Modéliser une situation par une fonction consiste à traduire une relation entre deux grandeurs variables par une expression mathématique de la forme $y = f(x)$. La variable $x$ représente la grandeur dont dépend l'autre, et $y$ est la grandeur qui varie en fonction de $x$. Cette expression permet ensuite d'étudier la situation à l'aide des outils mathématiques (calcul d'images, d'antécédents, représentation graphique, etc.).

Bon réflexe : Toujours relire l'énoncé et vérifier que chaque information a été traduite dans la fonction ou dans son ensemble de définition.

Méthode : Modéliser une situation par une fonction

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1. Identifier les grandeurs variables

Déterminez quelles sont les quantités qui changent dans la situation. L'une d'elles sera la variable indépendante $x$ et l'autre la variable dépendante $y$ (ou $f(x)$).

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2. Choisir les variables et leurs unités

Nommez la variable indépendante $x$ et la variable dépendante $y$ (ou $f(x)$). Précisez leurs unités respectives. Définissez l'ensemble de définition de la fonction, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs possibles pour $x$ dans le contexte de la situation.

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3. Établir la relation mathématique

Traduisez les informations de l'énoncé en une formule mathématique qui lie $y$ à $x$. Cela peut être une fonction linéaire, affine, quadratique, ou une autre forme simple étudiée en Seconde.

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4. Vérifier la cohérence

Testez votre fonction avec quelques valeurs simples pour $x$ et vérifiez si les résultats obtenus pour $y$ sont logiques par rapport à la situation décrite.

Exemple résolu

Un artisan fabrique des bijoux. Pour chaque bijou, il utilise $20$ g d'argent et passe $1{,}5$ heure à le confectionner. Le prix du gramme d'argent est de $0{,}80$ € et son taux horaire est de $30$ € par heure. Les frais fixes (loyer de l'atelier, électricité) s'élèvent à $150$ € par mois. On souhaite modéliser le coût total mensuel de production en fonction du nombre de bijoux fabriqués.
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1. Identifier les grandeurs variables
Les grandeurs qui varient sont le nombre de bijoux fabriqués et le coût total mensuel de production.
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2. Choisir les variables et leurs unités
Soit $x$ le nombre de bijoux fabriqués par mois. $x$ est un nombre entier positif, donc $x \in \mathbb{N}$.
Soit $C(x)$ le coût total mensuel de production, exprimé en euros (€).
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3. Établir la relation mathématique
Le coût de l'argent pour un bijou est $20 \text{ g} \times 0{,}80 \text{ €/g} = 16$ €.
Le coût de la main d'œuvre pour un bijou est $1{,}5 \text{ h} \times 30 \text{ €/h} = 45$ €.
Le coût de fabrication d'un bijou est donc $16 + 45 = 61$ €.
Pour $x$ bijoux, le coût variable est $61x$ €.
Les frais fixes sont de $150$ €.
Le coût total mensuel $C(x)$ est la somme des coûts variables et des frais fixes : $$C(x) = 61x + 150$$
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4. Vérifier la cohérence
Si l'artisan ne fabrique aucun bijou ($x=0$), le coût est $C(0) = 61 \times 0 + 150 = 150$ €. Cela correspond aux frais fixes, ce qui est logique.
Si l'artisan fabrique $10$ bijoux, le coût est $C(10) = 61 \times 10 + 150 = 610 + 150 = 760$ €. Cela semble cohérent.
La fonction qui modélise le coût total mensuel de production en fonction du nombre de bijoux fabriqués est $C(x) = 61x + 150$, où $x$ est le nombre de bijoux et $C(x)$ le coût en euros.

Piège fréquent en Seconde : Oublier l'ensemble de définition

  1. Ne pas préciser l'ensemble des valeurs possibles pour la variable $x$. Par exemple, si $x$ représente une longueur, $x$ doit être positif ($x \geq 0$). Si $x$ est un nombre d'objets, $x$ doit être un entier naturel ($x \in \mathbb{N}$).
  2. Confondre la variable indépendante ($x$) et la variable dépendante ($y$ ou $f(x)$). La variable $x$ est celle dont on choisit la valeur, et $y$ est le résultat de ce choix.
  3. Oublier des éléments du problème (frais fixes, réductions, conditions spécifiques) lors de l'établissement de la formule.

Exercice type contrôle

Un club de sport propose deux formules d'abonnement annuel :
  • Formule A : Un abonnement de $100$ € et chaque séance coûte $5$ €.
  • Formule B : Pas d'abonnement, mais chaque séance coûte $8$ €.
  1. Modéliser le coût annuel $C_A(x)$ de la formule A en fonction du nombre $x$ de séances effectuées.
  2. Modéliser le coût annuel $C_B(x)$ de la formule B en fonction du nombre $x$ de séances effectuées.
  3. À partir de combien de séances la formule A devient-elle plus avantageuse que la formule B ?
  1. Pour la formule A :
    L'abonnement est de $100$ €. Chaque séance coûte $5$ €. Pour $x$ séances, le coût des séances est $5x$.
    Le coût total $C_A(x)$ est la somme de l'abonnement et du coût des séances : $$C_A(x) = 5x + 100$$L'ensemble de définition est $x \in \mathbb{N}$ (nombre de séances).
  2. Pour la formule B :
    Il n'y a pas d'abonnement. Chaque séance coûte $8$ €. Pour $x$ séances, le coût total $C_B(x)$ est : $$C_B(x) = 8x$$L'ensemble de définition est $x \in \mathbb{N}$.
  3. Pour que la formule A soit plus avantageuse que la formule B, il faut que son coût soit inférieur au coût de la formule B. On cherche donc $x$ tel que $C_A(x) \lt C_B(x)$.
    $$5x + 100 \lt 8x$$On résout cette inéquation :
    $$100 \lt 8x - 5x$$$$100 \lt 3x$$$$\frac{100}{3} \lt x$$$$\text{Environ } 33{,}33 \lt x$$Puisque $x$ doit être un nombre entier de séances, la formule A devient plus avantageuse à partir de $34$ séances.
    Vérification :
    Pour $x=33$ : $C_A(33) = 5 \times 33 + 100 = 165 + 100 = 265$ €. $C_B(33) = 8 \times 33 = 264$ €. Ici $C_B \lt C_A$.
    Pour $x=34$ : $C_A(34) = 5 \times 34 + 100 = 170 + 100 = 270$ €. $C_B(34) = 8 \times 34 = 272$ €. Ici $C_A \lt C_B$.
    La formule A est plus avantageuse à partir de $34$ séances.

Questions fréquentes

Comment savoir quelle grandeur choisir pour $x$ ?
La variable $x$ est généralement la grandeur dont dépend l'autre. C'est celle que l'on peut faire varier 'librement' pour observer son impact sur la grandeur dépendante. Souvent, la question posée dans l'énoncé indique quelle est la variable indépendante (par exemple, 'en fonction du nombre de...').
Est-ce que toutes les situations peuvent être modélisées par une fonction ?
Non, seules les situations où une grandeur dépend d'une autre de manière unique peuvent être modélisées par une fonction. Pour chaque valeur de $x$, il ne doit y avoir qu'une seule valeur possible pour $y$. Si pour une même valeur de $x$, il y a plusieurs valeurs de $y$, ce n'est pas une fonction.
Qu'est-ce qu'un ensemble de définition ?
L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs que la variable $x$ peut prendre. Dans le contexte d'une modélisation, il faut tenir compte des contraintes de la situation (par exemple, une longueur ne peut pas être négative, un nombre d'objets doit être entier).
Comment savoir si ma fonction est linéaire ou affine ?
Une fonction est linéaire si elle est de la forme $f(x) = ax$ (le coût est proportionnel à la quantité). Une fonction est affine si elle est de la forme $f(x) = ax + b$ (il y a un coût proportionnel et un coût fixe, ou un prix de base). Si le problème implique des carrés ou des produits de la variable, ce sera une fonction quadratique ou autre.

Pour aller plus loin

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