Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On dit que $f$ admet un maximum $M$ sur $I$ s'il existe un nombre réel $a \in I$ tel que $f(a) = M$ et pour tout $x \in I$, $f(x) \leq M$. Le maximum est la plus grande valeur atteinte par la fonction sur cet intervalle.
On dit que $f$ admet un minimum $m$ sur $I$ s'il existe un nombre réel $b \in I$ tel que $f(b) = m$ et pour tout $x \in I$, $f(x) \geq m$. Le minimum est la plus petite valeur atteinte par la fonction sur cet intervalle.
Sur [−3 ; 4], le maximum vaut 3 (atteint en x = −1) et le minimum vaut −2 (atteint en x = 2).
Bon réflexe : Toujours préciser l'intervalle d'étude lorsque tu cherches un maximum ou un minimum.
Méthode : Maximum et minimum d'une fonction
1
Identifier l'intervalle d'étude
Déterminer l'intervalle $I$ sur lequel on cherche le maximum ou le minimum de la fonction $f$.
2
Utiliser le tableau de variations
Si un tableau de variations de $f$ sur $I$ est disponible, les maximums et minimums apparaissent clairement comme les valeurs extrêmes atteintes par la fonction.
3
Comparer les images
Si le tableau de variations n'est pas donné, on peut calculer les images de plusieurs valeurs de $x$ dans l'intervalle $I$ pour se faire une idée. Pour prouver qu'une valeur est un maximum (ou un minimum), il faut montrer que toutes les autres images sont inférieures ou égales (ou supérieures ou égales) à cette valeur.
4
Rédiger la conclusion
Préciser la valeur du maximum (ou minimum) et la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.
Exemple résolu
Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,;3]$ par $f(x) = x^2 - 2x - 1$. Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur cet intervalle.
1
Construire le tableau de valeurs
On calcule quelques images pour avoir une idée du comportement de la fonction sur l'intervalle $[-3\,;3]$ :
$x$
$-3$
$-2$
$-1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$f(x)$
$14$
$7$
$2$
$-1$
$-2$
$-1$
$2$
2
Identifier les variations (méthode graphique ou par le sommet)
La fonction $f(x) = x^2 - 2x - 1$ est une fonction polynôme du second degré. Sa courbe représentative est une parabole. Le sommet de la parabole a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \times 1} = 1$. Puisque le coefficient de $x^2$ est positif ($a=1 \gt 0$), la parabole est "ouverte vers le haut", donc la fonction est décroissante puis croissante. Le minimum est atteint au sommet.
3
Calculer les valeurs extrêmes
Le minimum est atteint pour $x=1$. $f(1) = 1^2 - 2 \times 1 - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$. Pour le maximum, il faut comparer les images aux bornes de l'intervalle, car le sommet n'est pas un maximum. $f(-3) = (-3)^2 - 2 \times (-3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14$. $f(3) = 3^2 - 2 \times 3 - 1 = 9 - 6 - 1 = 2$. Le maximum est la plus grande de ces valeurs.
4
Construire le tableau de variations
On peut résumer ces informations dans un tableau de variations :
Sur l'intervalle $[-3\,;3]$, la fonction $f$ admet un minimum de $-2$ atteint pour $x=1$, et un maximum de $14$ atteint pour $x=-3$.
Confondre maximum/minimum et les valeurs de $x$ où ils sont atteints
Le maximum (ou minimum) est une valeur de $f(x)$, c'est-à-dire une ordonnée. Ce n'est pas la valeur de $x$ (l'abscisse) pour laquelle il est atteint.
Ne pas oublier de préciser l'intervalle d'étude. Un maximum ou un minimum peut changer si l'intervalle change.
Pour une fonction du second degré, le minimum (si $a\gt 0$) ou le maximum (si $a\lt 0$) est toujours atteint au sommet de la parabole. Cependant, sur un intervalle restreint, les valeurs extrêmes peuvent être aux bornes de l'intervalle.
Exercice type contrôle
Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = -2x^2 + 8x + 1$.
Déterminer l'abscisse du sommet de la parabole représentant $g$.
La fonction $g$ admet-elle un maximum ou un minimum sur $\mathbb{R}$ ? Justifier et donner sa valeur.
Déterminer le maximum et le minimum de $g$ sur l'intervalle $[0\,;3]$.
La fonction $g(x) = -2x^2 + 8x + 1$ est une fonction polynôme du second degré de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-2$, $b=8$ et $c=1$. L'abscisse du sommet de la parabole est donnée par la formule $x_S = -\frac{b}{2a}$. $$x_S = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$$ L'abscisse du sommet est $2$.
Le coefficient $a$ de $x^2$ est $a=-2$, qui est négatif. La parabole est donc "ouverte vers le bas". Cela signifie que la fonction $g$ admet un maximum sur $\mathbb{R}$ (et pas de minimum). Ce maximum est atteint au sommet, pour $x=2$. Calculons la valeur de ce maximum : $$g(2) = -2 \times (2)^2 + 8 \times 2 + 1 = -2 \times 4 + 16 + 1 = -8 + 16 + 1 = 9$$ Le maximum de $g$ sur $\mathbb{R}$ est $9$.
Pour déterminer le maximum et le minimum de $g$ sur l'intervalle $[0\,;3]$, nous utilisons le tableau de variations de $g$. Puisque $a=-2 \lt 0$, la fonction est croissante jusqu'à $x_S=2$, puis décroissante. Nous avons déjà $g(2)=9$. Calculons les images aux bornes de l'intervalle : $g(0) = -2 \times (0)^2 + 8 \times 0 + 1 = 1$. $g(3) = -2 \times (3)^2 + 8 \times 3 + 1 = -2 \times 9 + 24 + 1 = -18 + 24 + 1 = 7$. Tableau de variations sur $[0\,;3]$ : D'après le tableau de variations, sur l'intervalle $[0\,;3]$ : Le maximum de $g$ est $9$, atteint pour $x=2$. Le minimum de $g$ est $1$, atteint pour $x=0$.
Questions fréquentes
Est-ce que toutes les fonctions ont un maximum et un minimum ?
Non, pas nécessairement. Par exemple, la fonction $f(x)=x$ sur $\mathbb{R}$ n'a ni maximum ni minimum. La fonction $f(x)=x^2$ sur $\mathbb{R}$ a un minimum ($0$ en $x=0$) mais pas de maximum. Cela dépend de la fonction et de l'intervalle d'étude.
Comment savoir si c'est un maximum ou un minimum sans tableau de variations ?
Pour une fonction du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$ : si $a\gt 0$, la parabole est "ouverte vers le haut", donc la fonction admet un minimum au sommet. Si $a\lt 0$, la parabole est "ouverte vers le bas", donc la fonction admet un maximum au sommet. Pour d'autres types de fonctions, il faut étudier le signe de la variation (par exemple, si la fonction est croissante puis décroissante, il y a un maximum).
Un maximum ou un minimum peut-il être atteint plusieurs fois ?
Oui, tout à fait. Une fonction peut atteindre son maximum ou son minimum pour plusieurs valeurs de $x$ différentes. Par exemple, la fonction $f(x) = \sin(x)$ sur $[0\,;4\pi]$ atteint son maximum $1$ en $x=\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{5\pi}{2}$.
Quelle est la différence entre un maximum et un extremum ?
Un extremum est un terme général qui désigne soit un maximum, soit un minimum. Si on parle des 'extremums' d'une fonction, on fait référence à l'ensemble de ses maximums et de ses minimums.
Pour aller plus loin
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