Fonctions · Fiche N°50 / 80

Tableau de variations

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Un tableau de variations est une représentation graphique simplifiée des variations d'une fonction sur son ensemble de définition. Il indique les intervalles sur lesquels la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que les valeurs des extremums (maximums et minimums). Une flèche qui monte indique que la fonction est croissante, une flèche qui descend indique qu'elle est décroissante.

Bon réflexe : Toujours vérifier que les flèches du tableau de variations correspondent bien au sens de lecture de la courbe (de gauche à droite).

Méthode : Tableau de variations

1

Identifier l'ensemble de définition

Déterminer l'intervalle ou l'union d'intervalles sur lequel la fonction est définie. C'est la première ligne du tableau, notée $x$.

2

Repérer les changements de variation

À partir de la courbe représentative de la fonction, identifier les abscisses $x$ où la fonction change de sens de variation (passe de croissante à décroissante, ou inversement). Ces points correspondent aux extremums locaux.

3

Calculer les valeurs des extremums

Pour chaque abscisse $x_0$ où la fonction change de variation, calculer l'image $f(x_0)$. Ces valeurs sont placées à l'extrémité des flèches dans la deuxième ligne du tableau, notée $f(x)$.

4

Tracer les flèches de variation

Sur chaque intervalle, si la fonction est croissante, tracer une flèche montante. Si elle est décroissante, tracer une flèche descendante. Les flèches partent des valeurs aux bornes de l'intervalle et arrivent aux valeurs des extremums.

Exemple résolu

Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3\,; 4]$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :
-3-2-11234-3-2-1123450𝒞f
Courbe de f sur [−3 ; 4] : lire les images aux points marqués.

Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
1
Identifier l'ensemble de définition
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-3\,; 4]$. Les bornes de cet intervalle seront les premières valeurs de la ligne $x$.
2
Repérer les changements de variation
En observant la courbe, on constate que la fonction :
  • est décroissante de $x = -3$ à $x = -1$.
  • est croissante de $x = -1$ à $x = 2$.
  • est décroissante de $x = 2$ à $x = 4$.
Les changements de variation se produisent en $x = -1$ et en $x = 2$.
3
Calculer les valeurs des extremums et des bornes
On lit les images sur la courbe :
  • $f(-3) = 3$
  • $f(-1) = -2$ (minimum local)
  • $f(2) = 4$ (maximum local)
  • $f(4) = 1$
4
Construire le tableau
On place les valeurs de $x$ et $f(x)$ et on trace les flèches correspondantes.
Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :
x−3−124f(x)3−241

Confondre abscisses et ordonnées

  1. Placer les valeurs de $f(x)$ sur la ligne des $x$ ou inversement. La ligne $x$ contient les abscisses, la ligne $f(x)$ contient les ordonnées.
  2. Oublier de calculer les images aux bornes de l'intervalle de définition ou aux points de changement de variation. Ces valeurs sont essentielles pour les flèches.
  3. Inverser le sens des flèches : une fonction croissante a une flèche qui monte, une fonction décroissante a une flèche qui descend.

Exercice type contrôle

Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-4\,; 3]$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :
-4-3-2-1123-4-3-2-11230𝒞g
Courbe de g sur [−4 ; 3] : lire les images aux points marqués.

  1. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction $g$ est croissante et ceux sur lesquels elle est décroissante.
  2. Donner les extremums locaux de la fonction $g$ et les valeurs de $x$ pour lesquelles ils sont atteints.
  3. Construire le tableau de variations de la fonction $g$.

  1. En observant la courbe :

    • La fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[-4\,; -2]$.
    • La fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[-2\,; 1]$.
    • La fonction $g$ est décroissante sur l'intervalle $[1\,; 3]$.

  2. Les extremums locaux sont :

    • Un minimum local de $-3$ est atteint pour $x = -2$.
    • Un maximum local de $2$ est atteint pour $x = 1$.

  3. Pour construire le tableau, on relève les images aux bornes et aux points de changement de variation :

    • $g(-4) = 1$
    • $g(-2) = -3$
    • $g(1) = 2$
    • $g(3) = -1$

    Le tableau de variations de la fonction $g$ est :

    x−4−213g(x)1−32−1

Questions fréquentes

À quoi servent les tableaux de variations ?
Les tableaux de variations permettent de résumer de manière concise le comportement d'une fonction (où elle monte, où elle descend) sans avoir à dessiner toute la courbe. Ils sont très utiles pour étudier les fonctions et résoudre des problèmes d'optimisation.
Peut-on faire un tableau de variations sans la courbe ?
En Seconde, vous construisez généralement les tableaux de variations à partir de la courbe représentative de la fonction. Plus tard, vous apprendrez des méthodes algébriques (par exemple, avec le signe de la dérivée en Première) pour déterminer les variations sans la courbe.
Comment indiquer une valeur interdite dans un tableau de variations ?
Si une fonction n'est pas définie pour une certaine valeur $x_0$, on trace une double barre verticale sous $x_0$ dans la ligne $f(x)$ pour indiquer que la fonction n'existe pas à cet endroit. Par exemple, pour $f(x) = \frac{1}{x}$, $x=0$ est une valeur interdite.
Faut-il toujours indiquer les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition ?
Oui, il est essentiel d'indiquer les images aux bornes de l'ensemble de définition (si elles existent) car elles marquent le début et la fin des flèches de variation. Elles donnent une idée des valeurs extrêmes atteintes par la fonction sur l'intervalle.

Pour aller plus loin

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