Effectifs, fréquences et fréquences cumulées – Fiche Maths Seconde

Définition

En statistique, on étudie une population (un ensemble d'individus) selon un certain caractère (une propriété).

L'effectif total est le nombre total d'individus de la population.
L'effectif d'une valeur du caractère est le nombre d'individus qui possèdent cette valeur.
La fréquence d'une valeur est le quotient de son effectif par l'effectif total. Elle peut être exprimée en fraction, en valeur décimale ou en pourcentage. $$\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$$
La fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de toutes les valeurs inférieures ou égales à cette valeur.

Bon réflexe : Toujours vérifier que la somme des effectifs est l'effectif total et que la dernière fréquence cumulée est $1$ (ou $100\%$).

Méthode : Effectifs, fréquences et fréquences cumulées

Calculer les effectifs

Dénombrer le nombre d'individus pour chaque valeur du caractère étudié. La somme des effectifs doit être égale à l'effectif total.

Calculer les fréquences

Pour chaque valeur, diviser son effectif par l'effectif total. On peut exprimer la fréquence sous forme décimale (arrondie si nécessaire) ou en pourcentage. La somme des fréquences doit être égale à $1$ (ou $100\%$).

Calculer les fréquences cumulées croissantes

Pour chaque valeur, additionner sa fréquence avec les fréquences des valeurs précédentes. La dernière fréquence cumulée doit être égale à $1$ (ou $100\%$).

Présenter les résultats

Organiser les données dans un tableau pour une meilleure lisibilité.

Exemple résolu

Un professeur a relevé les notes (sur $20$) obtenues par ses $25$ élèves à un devoir surveillé :
$12 \quad 8 \quad 15 \quad 10 \quad 12 \quad 18 \quad 7 \quad 15 \quad 12 \quad 10 \quad 14 \quad 16 \quad 12 \quad 9 \quad 11 \quad 15 \quad 13 \quad 10 \quad 12 \quad 17 \quad 10 \quad 14 \quad 12 \quad 15 \quad 11$
Construire un tableau présentant les effectifs, les fréquences (en pourcentage) et les fréquences cumulées croissantes.

Trier les notes et calculer les effectifs

On commence par lister les notes distinctes et compter combien de fois chaque note apparaît.
Notes triées : $7, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 17, 18$
Effectif total : $25$ élèves.

Note $7$ : $1$ élève
Note $8$ : $1$ élève
Note $9$ : $1$ élève
Note $10$ : $4$ élèves
Note $11$ : $2$ élèves
Note $12$ : $6$ élèves
Note $13$ : $1$ élève
Note $14$ : $2$ élèves
Note $15$ : $4$ élèves
Note $16$ : $1$ élève
Note $17$ : $1$ élève
Note $18$ : $1$ élève

Calculer les fréquences (en pourcentage)

Pour chaque note, on divise son effectif par l'effectif total ($25$) et on multiplie par $100$ pour obtenir un pourcentage.

Note $7$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$
Note $8$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$
Note $9$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$
Note $10$ : $\frac{4}{25} = 0{,}16 = 16\%$
Note $11$ : $\frac{2}{25} = 0{,}08 = 8\%$
Note $12$ : $\frac{6}{25} = 0{,}24 = 24\%$
Note $13$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$
Note $14$ : $\frac{2}{25} = 0{,}08 = 8\%$
Note $15$ : $\frac{4}{25} = 0{,}16 = 16\%$
Note $16$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$
Note $17$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$
Note $18$ : $\frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%$

Calculer les fréquences cumulées croissantes (en pourcentage)

On additionne les fréquences successives.

Note $7$ : $4\%$
Note $8$ : $4\% + 4\% = 8\%$
Note $9$ : $8\% + 4\% = 12\%$
Note $10$ : $12\% + 16\% = 28\%$
Note $11$ : $28\% + 8\% = 36\%$
Note $12$ : $36\% + 24\% = 60\%$
Note $13$ : $60\% + 4\% = 64\%$
Note $14$ : $64\% + 8\% = 72\%$
Note $15$ : $72\% + 16\% = 88\%$
Note $16$ : $88\% + 4\% = 92\%$
Note $17$ : $92\% + 4\% = 96\%$
Note $18$ : $96\% + 4\% = 100\%$

Le tableau complet des résultats est le suivant :

Note	Effectif	Fréquence (en %)	Fréquence cumulée croissante (en %)
$7$	$1$	$4$	$4$
$8$	$1$	$4$	$8$
$9$	$1$	$4$	$12$
$10$	$4$	$16$	$28$
$11$	$2$	$8$	$36$
$12$	$6$	$24$	$60$
$13$	$1$	$4$	$64$
$14$	$2$	$8$	$72$
$15$	$4$	$16$	$88$
$16$	$1$	$4$	$92$
$17$	$1$	$4$	$96$
$18$	$1$	$4$	$100$
Total	$25$	$100$

Erreurs d'arrondi et de cumul

Arrondir les fréquences trop tôt : il est préférable de garder les fractions ou des valeurs décimales avec plus de chiffres significatifs avant d'arrondir le résultat final, surtout pour les fréquences cumulées. Des arrondis successifs peuvent fausser la somme finale.
Oublier de vérifier les totaux : la somme des fréquences doit être $1$ (ou $100\%$) et la dernière fréquence cumulée doit être $1$ (ou $100\%$). Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul.
Confondre effectif et fréquence : l'effectif est un nombre d'individus, la fréquence est une proportion (un pourcentage ou une fraction).

Exercice type contrôle

Un sondage a été réalisé auprès de $40$ personnes pour connaître leur nombre de frères et sœurs. Voici les résultats :
$0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 3 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 4 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 3 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 3 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 1$

Déterminer l'effectif total de la population.
Construire un tableau regroupant le nombre de frères et sœurs, l'effectif, la fréquence (en valeur décimale arrondie au centième) et la fréquence cumulée croissante (en valeur décimale arrondie au centième).
Combien de personnes ont au plus $2$ frères et sœurs ? Exprimer ce résultat en effectif et en fréquence cumulée.

L'effectif total est le nombre de personnes interrogées : $40$.

Frères et sœurs	Effectif	Fréquence	Fréquence cumulée croissante
$0$	$9$	$\frac{9}{40} = 0{,}225 \approx 0{,}23$	$0{,}225 \approx 0{,}23$
$1$	$18$	$\frac{18}{40} = 0{,}45$	$0{,}675 \approx 0{,}68$
$2$	$9$	$\frac{9}{40} = 0{,}225 \approx 0{,}23$	$0{,}90$
$3$	$3$	$\frac{3}{40} = 0{,}075 \approx 0{,}08$	$0{,}975 \approx 0{,}98$
$4$	$1$	$\frac{1}{40} = 0{,}025 \approx 0{,}03$	$1$
Total	$40$	$1$

Les fréquences cumulées sont calculées à partir des valeurs exactes, puis arrondies : on évite ainsi d'additionner des arrondis.

Au plus $2$ frères et sœurs : $9 + 18 + 9 = 36$ personnes, soit une fréquence cumulée de $0{,}90$, c'est-à-dire $90\,\%$ des personnes interrogées.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre une fréquence et une proportion ?

En statistique, les termes "fréquence" et "proportion" sont souvent utilisés de manière interchangeable. Une fréquence est une proportion, généralement exprimée sous forme décimale, fractionnaire ou en pourcentage, qui indique la part d'une valeur par rapport à l'effectif total.

Pourquoi la somme des fréquences cumulées n'est-elle pas $1$ ?

La somme des fréquences cumulées n'a pas de signification particulière. C'est la dernière fréquence cumulée qui doit être égale à $1$ (ou $100\%$), car elle représente la proportion de toutes les valeurs jusqu'à la dernière, c'est-à-dire la totalité de la population.

Quand faut-il arrondir les fréquences ?

Il est préférable d'arrondir les fréquences uniquement à la fin des calculs, pour la présentation du tableau. Si des calculs ultérieurs (comme la moyenne) doivent être effectués, il est plus précis d'utiliser les valeurs non arrondies ou les fractions. Si un arrondi est demandé, il faut le respecter (par exemple, "au centième près").

Peut-on avoir des fréquences cumulées décroissantes ?

Oui, il est possible de calculer des fréquences cumulées décroissantes. Dans ce cas, on additionne les fréquences des valeurs supérieures ou égales à la valeur considérée. Cependant, les fréquences cumulées croissantes sont les plus couramment utilisées et souvent sous-entendues quand on parle de "fréquences cumulées" sans autre précision.

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