Trigonométrie dans le triangle rectangle – Fiche Maths Seconde

Définition

Dans un triangle rectangle, les relations trigonométriques permettent de lier les mesures des angles aigus aux longueurs des côtés. Pour un angle aigu $\alpha$ dans un triangle rectangle :

Le cosinus de $\alpha$ est le rapport de la longueur du côté adjacent à $\alpha$ sur la longueur de l'hypoténuse : $$\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$$
Le sinus de $\alpha$ est le rapport de la longueur du côté opposé à $\alpha$ sur la longueur de l'hypoténuse : $$\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$$
La tangente de $\alpha$ est le rapport de la longueur du côté opposé à $\alpha$ sur la longueur du côté adjacent à $\alpha$ : $$\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$$

Ces relations sont valables pour tout angle aigu $\alpha$ (c'est-à-dire $0° \lt \alpha \lt 90°$).

Dans ABC rectangle en B : cos α = adjacent/hypoténuse, sin α = opposé/hypoténuse, tan α = opposé/adjacent.

Bon réflexe : Avant tout calcul, dessine le triangle, nomme ses sommets et ses côtés, et indique l'angle droit. Cela aide à bien identifier les côtés opposé, adjacent et l'hypoténuse.

Méthode : Trigonométrie dans le triangle rectangle

Identifier le triangle rectangle

Assurez-vous que le triangle est bien rectangle. Repérez l'angle droit et l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).

Identifier l'angle et les côtés

Choisissez l'angle aigu dont vous connaissez la mesure ou que vous cherchez à calculer. Identifiez le côté opposé, le côté adjacent et l'hypoténuse par rapport à cet angle.

Choisir la bonne relation

En fonction des données connues (angles, côtés) et de ce que vous cherchez à calculer, choisissez la relation trigonométrique appropriée : $\cos$, $\sin$ ou $\tan$. Un moyen mnémotechnique est SOH CAH TOA :
SOH : $\sin = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$
CAH : $\cos = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$
TOA : $\tan = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$

Appliquer la formule et calculer

Écrivez la formule avec les noms des côtés du triangle, puis remplacez les valeurs connues et effectuez le calcul. Utilisez la calculatrice pour les valeurs d'angles ou de rapports trigonométriques (attention au mode Degrés).

Exemple résolu

Soit un triangle $ABC$ rectangle en $B$. On sait que $AB = 5$ cm et $BC = 12$ cm. Calculer la longueur de l'hypoténuse $AC$ et la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ (arrondir au degré près).

Calculer la longueur de l'hypoténuse $AC$

Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. On peut utiliser le théorème de Pythagore :$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$$$AC^2 = 5^2 + 12^2$$$$AC^2 = 25 + 144$$$$AC^2 = 169$$$$AC = \sqrt{169}$$$$AC = 13 \text{ cm}$$

Identifier l'angle et les côtés pour $\widehat{BAC}$

Pour l'angle $\widehat{BAC}$ :

Le côté opposé est $BC = 12$ cm.
Le côté adjacent est $AB = 5$ cm.
L'hypoténuse est $AC = 13$ cm.

Choisir la relation trigonométrique pour $\widehat{BAC}$

Nous connaissons les longueurs des trois côtés. Nous pouvons utiliser n'importe quelle relation. Choisissons la tangente car elle n'utilise pas l'hypoténuse (au cas où on aurait fait une erreur dans le calcul de $AC$).$$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{BC}{AB}$$

Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$

Remplaçons les valeurs :$$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{12}{5}$$$$\tan(\widehat{BAC}) = 2{,}4$$Pour trouver l'angle, on utilise la fonction arc tangente ($\tan^{-1}$) sur la calculatrice :$$\widehat{BAC} = \tan^{-1}(2{,}4)$$$$\widehat{BAC} \approx 67{,}38°$$Arrondi au degré près, $\widehat{BAC} \approx 67°$.

La longueur de l'hypoténuse $AC$ est $13$ cm et la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est environ $67°$.

Confondre les côtés ou le mode de la calculatrice

Côté opposé / Côté adjacent : Toujours bien identifier le côté opposé et le côté adjacent par rapport à l'angle aigu *considéré*. L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit.
Mode de la calculatrice : Vérifiez que votre calculatrice est en mode "Degrés" (DEG) si vous travaillez avec des angles en degrés. Si elle est en mode "Radians" (RAD) ou "Grades" (GRAD), les résultats seront faux.
Triangle non rectangle : Les relations trigonométriques $\cos$, $\sin$, $\tan$ ne s'appliquent *que* dans les triangles rectangles. Ne les utilisez pas dans d'autres types de triangles.

Exercice type contrôle

Dans un triangle $RST$ rectangle en $S$, on donne $RS = 7$ cm et l'angle $\widehat{RTS} = 35°$.

Calculer la longueur du côté $ST$ (arrondir au millimètre près).
Calculer la longueur de l'hypoténuse $RT$ (arrondir au millimètre près).

Calcul de la longueur $ST$ :
Dans le triangle $RST$ rectangle en $S$, pour l'angle $\widehat{RTS} = 35°$ :
- Le côté opposé est $RS = 7$ cm.
- Le côté adjacent est $ST$.
La relation qui lie le côté opposé et le côté adjacent est la tangente :$$\tan(\widehat{RTS}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{RS}{ST}$$Remplaçons les valeurs connues :$$\tan(35°) = \frac{7}{ST}$$Pour trouver $ST$, on réarrange l'équation :$$ST = \frac{7}{\tan(35°)}$$À l'aide de la calculatrice :$$\tan(35°) \approx 0{,}7002$$$$ST = \frac{7}{0{,}7002} \approx 9{,}996 \text{ cm}$$Arrondi au millimètre près ($0{,}1$ cm), $ST \approx 10{,}0$ cm.
Calcul de la longueur de l'hypoténuse $RT$ :
Pour l'angle $\widehat{RTS} = 35°$ :
- Le côté opposé est $RS = 7$ cm.
- L'hypoténuse est $RT$.
La relation qui lie le côté opposé et l'hypoténuse est le sinus :$$\sin(\widehat{RTS}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{RS}{RT}$$Remplaçons les valeurs connues :$$\sin(35°) = \frac{7}{RT}$$Pour trouver $RT$, on réarrange l'équation :$$RT = \frac{7}{\sin(35°)}$$À l'aide de la calculatrice :$$\sin(35°) \approx 0{,}5736$$$$RT = \frac{7}{0{,}5736} \approx 12{,}204 \text{ cm}$$Arrondi au millimètre près ($0{,}1$ cm), $RT \approx 12{,}2$ cm.

Questions fréquentes

Comment savoir quelle formule utiliser (sin, cos, tan) ?

Cela dépend de ce que vous connaissez et de ce que vous cherchez. Utilisez le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA :
SOH : $\sin = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}$ (si vous avez ou cherchez l'opposé et l'hypoténuse)
CAH : $\cos = \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}$ (si vous avez ou cherchez l'adjacent et l'hypoténuse)
TOA : $\tan = \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}$ (si vous avez ou cherchez l'opposé et l'adjacent)

Peut-on utiliser la trigonométrie pour trouver un angle si on connaît les côtés ?

Oui, absolument ! Si vous connaissez les longueurs des côtés, vous pouvez calculer le rapport $\cos(\alpha)$, $\sin(\alpha)$ ou $\tan(\alpha)$. Ensuite, utilisez les fonctions inverses de votre calculatrice ($\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$, souvent notées arccos, arcsin, arctan) pour trouver la mesure de l'angle $\alpha$. Par exemple, si $\cos(\alpha) = 0{,}5$, alors $\alpha = \cos^{-1}(0{,}5) = 60°$.

Y a-t-il des valeurs remarquables à connaître ?

Oui, pour certains angles, les valeurs trigonométriques sont exactes et peuvent être utiles à connaître :

$\cos(0°) = 1$, $\sin(0°) = 0$, $\tan(0°) = 0$
$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(30°) = \frac{1}{2}$, $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45°) = 1$
$\cos(60°) = \frac{1}{2}$, $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(60°) = \sqrt{3}$
$\cos(90°) = 0$, $\sin(90°) = 1$, $\tan(90°)$ n'est pas définie

Existe-t-il des relations entre $\cos$, $\sin$ et $\tan$ ?

Oui, il y a deux relations fondamentales pour tout angle aigu $\alpha$ :

La relation fondamentale de la trigonométrie : $$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$$
La relation entre la tangente, le sinus et le cosinus : $$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Ces relations sont très utiles pour calculer une valeur trigonométrique si on en connaît une autre.

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