Fonctions · Fiche N°54 / 80

Étudier le signe d'une fonction

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Étudier le signe d'une fonction $f$ sur un intervalle donné, c'est déterminer pour quelles valeurs de $x$ l'image $f(x)$ est positive, négative ou nulle. Graphiquement, cela revient à situer la courbe représentative de $f$ par rapport à l'axe des abscisses.

Bon réflexe : Toujours vérifier l'ordre croissant des valeurs sur la ligne de $x$ dans le tableau de signes et la règle des signes pour les produits/quotients.

Méthode : Étudier le signe d'une fonction

1

Déterminer les valeurs qui annulent la fonction

Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

2

Déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction est positive

Résoudre l'inéquation $f(x) \gt 0$. Les solutions sont les intervalles où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

3

Déterminer les valeurs pour lesquelles la fonction est négative

Résoudre l'inéquation $f(x) \lt 0$. Les solutions sont les intervalles où la courbe est en dessous de l'axe des abscisses.

4

Récapituler dans un tableau de signes

Organiser les résultats dans un tableau de signes, en plaçant les valeurs qui annulent la fonction sur la ligne de $x$ et les signes ($+$ ou $-$) sur la ligne de $f(x)$.

Exemple résolu

Étudier le signe de la fonction $f$ définie par $f(x) = (2x - 3)(x + 1)$ sur $\mathbb{R}$.
1
Rechercher les valeurs qui annulent la fonction
On résout $f(x) = 0$, c'est-à-dire $(2x - 3)(x + 1) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
$2x - 3 = 0 \iff 2x = 3 \iff x = \frac{3}{2}$
$x + 1 = 0 \iff x = -1$
Les valeurs qui annulent la fonction sont $x = -1$ et $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$.
2
Étudier le signe de chaque facteur
Pour le facteur $2x - 3$ :
$2x - 3 \gt 0 \iff 2x \gt 3 \iff x \gt \frac{3}{2}$
$2x - 3 \lt 0 \iff 2x \lt 3 \iff x \lt \frac{3}{2}$
Pour le facteur $x + 1$ :
$x + 1 \gt 0 \iff x \gt -1$
$x + 1 \lt 0 \iff x \lt -1$
3
Construire le tableau de signes
On place les valeurs qui annulent les facteurs dans l'ordre croissant sur la ligne de $x$. On utilise la règle des signes pour le produit.
x−∞−13/2+∞2x − 30−−+x + 10−++f(x)00+−+
La fonction $f(x)$ est positive sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[\frac{3}{2}\,;+\infty[$. Elle est négative sur $[-1\,;\frac{3}{2}]$. Elle est nulle pour $x = -1$ et $x = \frac{3}{2}$.

Erreurs courantes dans les tableaux de signes

  1. Oublier de mettre les valeurs qui annulent la fonction dans l'ordre croissant sur la ligne de $x$.
  2. Confondre le signe d'une expression du type $ax+b$ : si $a\gt 0$, l'expression est négative avant la racine et positive après. Si $a\lt 0$, c'est l'inverse.
  3. Faire des erreurs de calcul lors de la résolution des équations ou inéquations.
  4. Ne pas appliquer correctement la règle des signes pour un produit ou un quotient.

Exercice type contrôle

On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (-x + 4)(3x + 6)$.
  1. Résoudre l'équation $g(x) = 0$.
  2. Étudier le signe de chaque facteur $(-x + 4)$ et $(3x + 6)$.
  3. En déduire le tableau de signes de la fonction $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.
  1. Résolution de $g(x) = 0$ :
    $(-x + 4)(3x + 6) = 0$
    Soit $-x + 4 = 0 \iff x = 4$
    Soit $3x + 6 = 0 \iff 3x = -6 \iff x = -2$
    Les valeurs qui annulent la fonction $g$ sont $x = -2$ et $x = 4$.
  2. Étude du signe de chaque facteur :
    Pour le facteur $-x + 4$ :
    $-x + 4 \gt 0 \iff -x \gt -4 \iff x \lt 4$ (attention au changement de sens de l'inégalité en divisant par un nombre négatif)
    $-x + 4 \lt 0 \iff x \gt 4$
    Pour le facteur $3x + 6$ :
    $3x + 6 \gt 0 \iff 3x \gt -6 \iff x \gt -2$
    $3x + 6 \lt 0 \iff x \lt -2$
  3. Tableau de signes de $g(x)$ :
    x−∞−24+∞−x + 40++−3x + 60−++g(x)00−+−

Questions fréquentes

Comment savoir si une expression $ax+b$ est positive ou négative ?
L'expression $ax+b$ s'annule pour $x = -\frac{b}{a}$. Si $a \gt 0$, l'expression est négative pour $x \lt -\frac{b}{a}$ et positive pour $x \gt -\frac{b}{a}$. Si $a \lt 0$, l'expression est positive pour $x \lt -\frac{b}{a}$ et négative pour $x \gt -\frac{b}{a}$.
Peut-on étudier le signe d'une fonction sans passer par un tableau ?
Oui, pour des fonctions simples (linéaires, affines), on peut directement résoudre les inéquations $f(x) \gt 0$ et $f(x) \lt 0$. Cependant, pour un produit ou un quotient de fonctions affines, le tableau de signes est la méthode la plus fiable et la plus structurée.
Que signifie un double trait (||) dans un tableau de signes ?
Un double trait (||) indique une valeur interdite pour la fonction, c'est-à-dire une valeur de $x$ pour laquelle la fonction n'est pas définie (par exemple, si elle est au dénominateur d'une fraction et annule ce dénominateur). Dans ce cas, la fonction ne peut pas être nulle.
Est-ce que le signe d'une fonction est lié à sa variation ?
Non, le signe d'une fonction indique si ses images sont positives ou négatives (position par rapport à l'axe des abscisses). La variation indique si la fonction est croissante ou décroissante. Ce sont deux notions distinctes, bien qu'elles puissent être étudiées simultanément dans un chapitre sur les fonctions.

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