Signe d'une fonction affine – Fiche Maths Seconde

Q: Que se passe-t-il si a=0 ?

Si a=0, la fonction est f(x)=b. C'est une fonction constante. Si b=0, alors f(x)=0 pour tout x, la fonction est toujours nulle. Si b \neq 0, alors f(x) est toujours du signe de b (toujours positive si b\gt 0, toujours négative si b\lt 0) et ne s'annule jamais.

Q: Comment retenir la règle du signe de -a et a ?

Pensez à la représentation graphique : une droite. Si a\gt 0, la droite 'monte'. Elle passe d'abord sous l'axe des abscisses (valeurs négatives) puis au-dessus (valeurs positives). Si a\lt 0, la droite 'descend'. Elle passe d'abord au-dessus de l'axe (valeurs positives) puis en dessous (valeurs négatives). Le point de passage est la racine.

Q: Est-ce que toutes les fonctions ont un signe qui change ?

Non, seules les fonctions affines non constantes (a \neq 0) changent de signe une seule fois. Les fonctions constantes non nulles (a=0, b \neq 0) ont un signe constant. D'autres types de fonctions (non affines) peuvent changer de signe plusieurs fois ou jamais.

Définition

Une fonction affine $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels. Le signe de $f(x)$ dépend de la valeur de $x$ et du coefficient directeur $a$. Pour déterminer le signe de $f(x)$, on cherche la valeur de $x$ pour laquelle $f(x)=0$. Cette valeur est appelée la racine de la fonction affine.

Bon réflexe : Toujours commencer par trouver la racine de la fonction affine, puis utiliser le signe du coefficient directeur $a$ pour remplir le tableau de signes.

Méthode : Signe d'une fonction affine

Étape 1 : Résoudre $f(x)=0$

On pose l'équation $ax+b=0$ et on la résout pour trouver la racine $x_0$. On obtient $ax = -b$, donc $x_0 = -\frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$). Si $a=0$, la fonction est constante $f(x)=b$. Si $b=0$, $f(x)=0$ pour tout $x$. Si $b \neq 0$, $f(x)$ n'est jamais nulle.

Étape 2 : Déterminer le signe de $a$

Le signe du coefficient directeur $a$ est crucial. Si $a\gt 0$, la fonction est croissante. Si $a\lt 0$, la fonction est décroissante. Si $a=0$, la fonction est constante.

Étape 3 : Construire le tableau de signes

On place la racine $x_0$ dans le tableau. Si $a\gt 0$, la fonction est d'abord négative, s'annule en $x_0$, puis est positive. Si $a\lt 0$, la fonction est d'abord positive, s'annule en $x_0$, puis est négative. On dit que $f(x)$ est du signe de $-a$ avant la racine et du signe de $a$ après la racine.

Exemple résolu

Déterminer le signe de la fonction $f(x) = -3x+6$ sur $\mathbb{R}$.

Résoudre $f(x)=0$

On résout l'équation $-3x+6=0$.
$-3x = -6$
$x = \frac{-6}{-3}$
$x = 2$
La racine de la fonction est $x_0=2$.

Déterminer le signe de $a$

Le coefficient directeur est $a=-3$. Puisque $a\lt 0$, la fonction $f$ est décroissante.

Construire le tableau de signes

Puisque $a\lt 0$, la fonction est positive avant la racine $2$ et négative après la racine $2$.

La fonction $f(x) = -3x+6$ est positive sur $]-\infty\,;2[$, s'annule en $x=2$, et est négative sur $]2\,;+\infty[$.

Piège fréquent : Confusion avec le signe de $a$

Ne pas inverser le signe de $f(x)$ avant et après la racine. Rappelez-vous : 'signe de $-a$ avant la racine, signe de $a$ après la racine'.
Oublier de résoudre l'équation $ax+b=0$ correctement, en faisant des erreurs de calcul avec les signes.
Confondre le signe de la fonction avec ses variations. Une fonction croissante ($a\gt 0$) peut être négative, nulle ou positive. Une fonction décroissante ($a\lt 0$) peut aussi être négative, nulle ou positive.

Exercice type contrôle

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 5x-10$.

Déterminer la racine de la fonction $g$.
Quel est le signe du coefficient directeur de $g$ ? En déduire les variations de $g$.
Construire le tableau de signes de $g(x)$.

Pour déterminer la racine de la fonction $g$, on résout l'équation $g(x)=0$.
$5x-10=0$
$5x=10$
$x=\frac{10}{5}$
$x=2$
La racine de la fonction $g$ est $2$.
Le coefficient directeur de $g(x)=5x-10$ est $a=5$.
Puisque $a=5\gt 0$, le coefficient directeur est positif. La fonction $g$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$.
Pour construire le tableau de signes, on utilise la racine $x=2$ et le fait que $a\gt 0$. La fonction est du signe de $-a$ (négative) avant la racine et du signe de $a$ (positive) après la racine.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il si $a=0$ ?

Si $a=0$, la fonction est $f(x)=b$. C'est une fonction constante. Si $b=0$, alors $f(x)=0$ pour tout $x$, la fonction est toujours nulle. Si $b \neq 0$, alors $f(x)$ est toujours du signe de $b$ (toujours positive si $b\gt 0$, toujours négative si $b\lt 0$) et ne s'annule jamais.

Comment retenir la règle du signe de $-a$ et $a$ ?

Pensez à la représentation graphique : une droite. Si $a\gt 0$, la droite 'monte'. Elle passe d'abord sous l'axe des abscisses (valeurs négatives) puis au-dessus (valeurs positives). Si $a\lt 0$, la droite 'descend'. Elle passe d'abord au-dessus de l'axe (valeurs positives) puis en dessous (valeurs négatives). Le point de passage est la racine.

Est-ce que toutes les fonctions ont un signe qui change ?

Non, seules les fonctions affines non constantes ($a \neq 0$) changent de signe une seule fois. Les fonctions constantes non nulles ($a=0, b \neq 0$) ont un signe constant. D'autres types de fonctions (non affines) peuvent changer de signe plusieurs fois ou jamais.

Pourquoi est-ce important de connaître le signe d'une fonction ?

Connaître le signe d'une fonction est fondamental en mathématiques. Cela permet de résoudre des inéquations ($f(x)\gt 0$ ou $f(x) \leq 0$), d'étudier la position relative de courbes, de comprendre le comportement d'un phénomène modélisé par la fonction (par exemple, quand un bénéfice est positif ou négatif).

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