Démontrer un alignement ou un parallélisme – Fiche Maths Seconde

Q: Qu'est-ce que le déterminant de deux vecteurs ?

Le déterminant de deux vecteurs \vec{u}(x\,;y) et \vec{v}(x'\,;y') est le nombre xy' - yx'. C'est un outil très pratique pour tester la colinéarité : si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires ; s'il est non nul, ils ne le sont pas.

Q: Peut-on utiliser une autre méthode que le déterminant pour la colinéarité ?

Oui, vous pouvez chercher un réel k tel que \vec{u} = k \vec{v}. Cela revient à résoudre le système x = kx' et y = ky'. Si vous trouvez la même valeur de k pour les deux équations, alors les vecteurs sont colinéaires. Par exemple, si \overrightarrow{u}(2\,;4) et \overrightarrow{v}(1\,;2), on voit que 2 = k \times 1 et 4 = k \times 2, ce qui donne k=2 dans les deux cas. Donc \overrightarrow{u} = 2 \overrightarrow{v}.

Q: Pourquoi est-il important d'avoir un point commun pour l'alignement ?

Si \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires, cela signifie que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Mais si A, B, C, D ne sont pas alignés, ces droites peuvent être distinctes. Pour que A, B, C soient alignés, il faut qu'ils appartiennent à la même droite. En montrant que \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires, on s'assure que A, B, C sont sur une droite dont A est un point.

Q: Les vecteurs nuls sont-ils colinéaires ?

Oui, le vecteur nul \vec{0}(0\,;0) est colinéaire à tout vecteur \vec{u}(x\,;y) car on peut toujours écrire \vec{0} = 0 \times \vec{u}. De même, tout vecteur est colinéaire au vecteur nul. Le déterminant 0 \times y - 0 \times x = 0 confirme cette propriété.

Définition

En géométrie, les vecteurs sont des outils puissants pour démontrer des propriétés. Pour prouver que des points sont alignés ou que des droites sont parallèles, on utilise la notion de colinéarité de vecteurs. Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$ (ou $\vec{v} = k \vec{u}$). Graphiquement, cela signifie qu'ils ont la même direction.

Bon réflexe : Toujours commencer par calculer les coordonnées des vecteurs, puis utiliser le déterminant pour tester la colinéarité.

Méthode : Démontrer un alignement ou un parallélisme

Calculer les coordonnées des vecteurs

Pour démontrer un alignement ou un parallélisme, commencez par calculer les coordonnées des vecteurs pertinents. Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$.

Vérifier la colinéarité

Soient $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$. Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $xy' - yx' = 0$. Alternativement, vous pouvez chercher un réel $k$ tel que $x = kx'$ et $y = ky'$ (si $x' \neq 0$ et $y' \neq 0$). Si un des vecteurs est le vecteur nul, il est colinéaire à tout autre vecteur.

Conclure pour l'alignement

Pour démontrer que trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, il suffit de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (ou $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$, etc.) sont colinéaires. Le point $A$ (ou $B$, ou $C$) est alors un point commun aux deux vecteurs, ce qui assure l'alignement.

Conclure pour le parallélisme

Pour démontrer que deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, il suffit de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. Attention, les points $A, B, C, D$ ne doivent pas être alignés pour que les droites soient distinctes ou confondues.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(-2\,;3)$, $B(1\,;5)$, $C(4\,;7)$ et $D(0\,;-1)$. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés et que la droite $(AB)$ est parallèle à la droite $(CD)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour l'alignement.

$A(-2\,;3)$ et $B(1\,;5)$ : $\overrightarrow{AB}(1 - (-2)\,; 5 - 3)$, soit $\overrightarrow{AB}(3\,;2)$.
$A(-2\,;3)$ et $C(4\,;7)$ : $\overrightarrow{AC}(4 - (-2)\,; 7 - 3)$, soit $\overrightarrow{AC}(6\,;4)$.

Vérifier la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

On calcule le déterminant : $x_{\overrightarrow{AB}} y_{\overrightarrow{AC}} - y_{\overrightarrow{AB}} x_{\overrightarrow{AC}} = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Conclure pour l'alignement des points $A$, $B$ et $C$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires et ont un point commun $A$. Donc, les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$ pour le parallélisme.

$C(4\,;7)$ et $D(0\,;-1)$ : $\overrightarrow{CD}(0 - 4\,; -1 - 7)$, soit $\overrightarrow{CD}(-4\,;-8)$.

Vérifier la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

On a $\overrightarrow{AB}(3\,;2)$ et $\overrightarrow{CD}(-4\,;-8)$.
On calcule le déterminant : $x_{\overrightarrow{AB}} y_{\overrightarrow{CD}} - y_{\overrightarrow{AB}} x_{\overrightarrow{CD}} = 3 \times (-8) - 2 \times (-4) = -24 - (-8) = -24 + 8 = -16$.
Le déterminant est non nul ($-16 \neq 0$). Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. Cependant, les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles car les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.

Piège fréquent en Seconde : Oublier le point commun

Pour l'alignement de $A, B, C$, il ne suffit pas que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ soient colinéaires. Il faut que les deux vecteurs aient un point en commun, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Confondre l'alignement et le parallélisme : l'alignement implique le parallélisme (les points sont sur la même droite), mais le parallélisme n'implique pas l'alignement (les droites peuvent être distinctes).
Erreurs de calcul de coordonnées : une simple erreur de signe ou de soustraction peut fausser tout le raisonnement.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $E(1\,; -3)$, $F(3\,; 1)$ et $G(-2\,; -9)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$.
Les points $E$, $F$ et $G$ sont-ils alignés ? Justifier par un calcul.
Soit $H(5\,; 5)$. La droite $(EF)$ est-elle parallèle à la droite $(GH)$ ? Justifier.

Calcul des coordonnées des vecteurs :
- $\overrightarrow{EF}(x_F - x_E\,; y_F - y_E) = \overrightarrow{EF}(3 - 1\,; 1 - (-3)) = \overrightarrow{EF}(2\,; 4)$.
- $\overrightarrow{EG}(x_G - x_E\,; y_G - y_E) = \overrightarrow{EG}(-2 - 1\,; -9 - (-3)) = \overrightarrow{EG}(-3\,; -6)$.
Alignement des points $E$, $F$ et $G$ :
Pour vérifier si $E$, $F$ et $G$ sont alignés, on vérifie la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$.
On calcule le déterminant : $x_{\overrightarrow{EF}} y_{\overrightarrow{EG}} - y_{\overrightarrow{EF}} x_{\overrightarrow{EG}} = 2 \times (-6) - 4 \times (-3) = -12 - (-12) = -12 + 12 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{EG}$ sont colinéaires. Comme ils ont le point $E$ en commun, les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.
Parallélisme des droites $(EF)$ et $(GH)$ :
On a déjà $\overrightarrow{EF}(2\,; 4)$.
Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{GH}$ :
$\overrightarrow{GH}(x_H - x_G\,; y_H - y_G) = \overrightarrow{GH}(5 - (-2)\,; 5 - (-9)) = \overrightarrow{GH}(7\,; 14)$.
Pour vérifier si $(EF)$ est parallèle à $(GH)$, on vérifie la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$.
On calcule le déterminant : $x_{\overrightarrow{EF}} y_{\overrightarrow{GH}} - y_{\overrightarrow{EF}} x_{\overrightarrow{GH}} = 2 \times 14 - 4 \times 7 = 28 - 28 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ sont colinéaires. Donc, les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le déterminant de deux vecteurs ?

Le déterminant de deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ est le nombre $xy' - yx'$. C'est un outil très pratique pour tester la colinéarité : si le déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires ; s'il est non nul, ils ne le sont pas.

Peut-on utiliser une autre méthode que le déterminant pour la colinéarité ?

Oui, vous pouvez chercher un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$. Cela revient à résoudre le système $x = kx'$ et $y = ky'$. Si vous trouvez la même valeur de $k$ pour les deux équations, alors les vecteurs sont colinéaires. Par exemple, si $\overrightarrow{u}(2\,;4)$ et $\overrightarrow{v}(1\,;2)$, on voit que $2 = k \times 1$ et $4 = k \times 2$, ce qui donne $k=2$ dans les deux cas. Donc $\overrightarrow{u} = 2 \overrightarrow{v}$.

Pourquoi est-il important d'avoir un point commun pour l'alignement ?

Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, cela signifie que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Mais si $A, B, C, D$ ne sont pas alignés, ces droites peuvent être distinctes. Pour que $A, B, C$ soient alignés, il faut qu'ils appartiennent à la même droite. En montrant que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, on s'assure que $A, B, C$ sont sur une droite dont $A$ est un point.

Les vecteurs nuls sont-ils colinéaires ?

Oui, le vecteur nul $\vec{0}(0\,;0)$ est colinéaire à tout vecteur $\vec{u}(x\,;y)$ car on peut toujours écrire $\vec{0} = 0 \times \vec{u}$. De même, tout vecteur est colinéaire au vecteur nul. Le déterminant $0 \times y - 0 \times x = 0$ confirme cette propriété.

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