Géométrie et vecteurs · Fiche N°30 / 80

Déterminant de deux vecteurs et colinéarité

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Soient deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ dans un repère. Le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\text{det}(\vec{u}\,\vec{v})$, est le nombre réel défini par la formule : $$\text{det}(\vec{u}\,\vec{v}) = xy' - yx'$$ Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $\text{det}(\vec{u}\,\vec{v}) = 0$.

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det(AB, AC) = 3 × 4 − 6 × 2 = 0 : les vecteurs sont colinéaires, A, B et C sont alignés.
Bon réflexe : Toujours vérifier le signe du déterminant et ne pas oublier la conclusion géométrique.

Méthode : Déterminant de deux vecteurs et colinéarité

1

Identifier les coordonnées

Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on détermine leurs coordonnées : $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$. Attention à ne pas intervertir les abscisses et les ordonnées.

2

Calculer le déterminant

Appliquer la formule du déterminant : $\text{det}(\vec{u}\,\vec{v}) = xy' - yx'$. Il s'agit du « produit en croix » des coordonnées.

3

Conclure sur la colinéarité

Si le déterminant est égal à $0$, alors les vecteurs sont colinéaires. Si le déterminant est différent de $0$, alors les vecteurs ne sont pas colinéaires.

4

Interpréter géométriquement

Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, alors les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Exemple résolu

Soient les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;8)$ et $C(3\,;6)$ dans un repère. Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
1
Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,; y_B - y_A) = (4 - 1\,; 8 - 2) = (3\,;6)$$ $$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A\,; y_C - y_A) = (3 - 1\,; 6 - 2) = (2\,;4)$$
2
Identifier les coordonnées pour le calcul du déterminant.
Pour $\overrightarrow{AB}(3\,;6)$, on a $x=3$ et $y=6$. Pour $\overrightarrow{AC}(2\,;4)$, on a $x'=2$ et $y'=4$.
3
Calculer le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
$$\text{det}(\overrightarrow{AB}\,\overrightarrow{AC}) = xy' - yx' = (3 \times 4) - (6 \times 2) = 12 - 12 = 0$$
4
Conclure sur la colinéarité et l'alignement des points.
Le déterminant est égal à $0$. Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Puisqu'ils ont un point commun ($A$), les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Erreurs fréquentes avec le déterminant

  1. Inversion des coordonnées : Ne pas confondre $x$ et $y$, ou $x'$ et $y'$. Toujours écrire $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$.
  2. Erreur de signe : La formule est $xy' - yx'$. Le signe moins est crucial. Attention aux coordonnées négatives.
  3. Oubli de la conclusion : Après avoir calculé le déterminant, il faut toujours interpréter le résultat (colinéaires ou non, alignés ou parallèles).

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $E(-2\,;1)$, $F(1\,;3)$ et $G(7\,;7)$.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$.
  2. Les points $E$, $F$ et $G$ sont-ils alignés ? Justifier par le calcul du déterminant.
  1. Calcul des coordonnées des vecteurs :
    • $\overrightarrow{EF} = (x_F - x_E\,; y_F - y_E) = (1 - (-2)\,; 3 - 1) = (1 + 2\,; 2) = (3\,;2)$
    • $\overrightarrow{FG} = (x_G - x_F\,; y_G - y_F) = (7 - 1\,; 7 - 3) = (6\,;4)$
  2. Alignement des points $E$, $F$ et $G$ :
    Pour savoir si les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés, on vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont colinéaires. On calcule leur déterminant :
    $\overrightarrow{EF}(3\,;2)$, donc $x=3$ et $y=2$.
    $\overrightarrow{FG}(6\,;4)$, donc $x'=6$ et $y'=4$.
    $$\text{det}(\overrightarrow{EF}\,\overrightarrow{FG}) = xy' - yx' = (3 \times 4) - (2 \times 6) = 12 - 12 = 0$$Le déterminant est égal à $0$. Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont donc colinéaires. Puisqu'ils ont un point commun ($F$), les points $E$, $F$ et $G$ sont alignés.

Questions fréquentes

À quoi sert le déterminant des vecteurs ?
Le déterminant est un outil puissant pour vérifier la colinéarité de deux vecteurs. Cela permet de prouver l'alignement de points ou le parallélisme de droites, des notions fondamentales en géométrie.
Est-ce la seule méthode pour vérifier la colinéarité ?
Non, il existe une autre méthode : si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. C'est-à-dire que leurs coordonnées sont proportionnelles : $x' = kx$ et $y' = ky$. Le déterminant est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul avec des fractions.
Que signifie géométriquement un déterminant non nul ?
Si $\text{det}(\vec{u}\,\vec{v}) \neq 0$, cela signifie que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires. Géométriquement, cela veut dire qu'ils ne sont pas portés par la même droite ou par des droites parallèles. Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Le déterminant a-t-il une unité ?
Non, le déterminant est un nombre réel sans unité. C'est un calcul algébrique à partir des coordonnées des vecteurs.

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