Définition
Un vecteur directeur d'une droite $(d)$ est un vecteur $\vec{u}$ non nul tel que la direction de $\vec{u}$ est la même que celle de la droite $(d)$.
Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de la droite $(d)$, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs : si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$, alors tout vecteur $k\vec{u}$ (avec $k \in \mathbb{R}$, $k \neq 0$) est aussi un vecteur directeur de $(d)$.
Méthode : Vecteur directeur d'une droite
À partir de deux points
Si une droite $(d)$ passe par deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(d)$. Ses coordonnées sont $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A)$.
À partir d'une équation cartésienne
Si une droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ (avec $a \neq 0$ ou $b \neq 0$), alors le vecteur $\vec{u}(-b\,;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
À partir d'une équation réduite
Si une droite $(d)$ a pour équation réduite $y=mx+p$ (avec $m$ le coefficient directeur), alors le vecteur $\vec{u}(1\,;m)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si la droite est verticale, son équation est $x=k$. Un vecteur directeur est $\vec{u}(0\,;1)$.
Vérifier le parallélisme
Deux droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. C'est-à-dire, si $\vec{u}(x\,;y)$ est un vecteur directeur de $(d)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ est un vecteur directeur de $(d')$, alors $xy' - yx' = 0$.
Exemple résolu
$\overrightarrow{AB}(4-1\,;4-(-2))$, donc $\overrightarrow{AB}(3\,;6)$.
Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(3\,;6)$.
L'équation réduite est de la forme $y=2x+p$.
Le point $A(1\,;-2)$ appartient à $(d)$, donc $-2 = 2 \times 1 + p$, ce qui donne $-2 = 2+p$, donc $p=-4$.
L'équation réduite de $(d)$ est $y=2x-4$.
Une équation cartésienne de $(d)$ est $2x-y-4=0$.
Le vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(3\,;6)$.
Calculons le déterminant des deux vecteurs : $x_{\vec{u}}y_{\vec{v}} - y_{\vec{u}}x_{\vec{v}} = 3 \times 2 - 6 \times 1 = 6 - 6 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires. Donc les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.
Confondre vecteur directeur et vecteur normal
- Pour une droite d'équation $ax + by + c = 0$, confondre $\vec{u}(-b\,;a)$, qui est bien un vecteur directeur, avec le vecteur $(a\,;b)$, qui ne l'est pas en général.
- Croire qu'une droite n'a qu'un seul vecteur directeur : tout vecteur non nul colinéaire à $\vec{u}$ dirige aussi la droite, par exemple $2\vec{u}$ ou $-\vec{u}$.
- Ne pas oublier qu'un vecteur directeur doit être non nul.
Exercice type contrôle
Soit la droite $(d_1)$ d'équation cartésienne $3x+2y-5=0$ et la droite $(d_2)$ passant par les points $C(-1\,;3)$ et $D(2\,;-3)$.- Déterminer un vecteur directeur de $(d_1)$.
- Déterminer un vecteur directeur de $(d_2)$.
- Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
- Pour la droite $(d_1)$ d'équation $3x+2y-5=0$, on utilise la propriété : si une droite a pour équation $ax+by+c=0$, alors $\vec{u}(-b\,;a)$ est un vecteur directeur.
Ici, $a=3$ et $b=2$. Donc un vecteur directeur de $(d_1)$ est $\vec{u_1}(-2\,;3)$. - Pour la droite $(d_2)$ passant par $C(-1\,;3)$ et $D(2\,;-3)$, un vecteur directeur est $\overrightarrow{CD}$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $(x_D-x_C\,;y_D-y_C)$.
$\overrightarrow{CD}(2-(-1)\,;-3-3)$, donc $\overrightarrow{CD}(3\,;-6)$.
Un vecteur directeur de $(d_2)$ est $\vec{u_2}(3\,;-6)$. - Pour savoir si les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, on vérifie si leurs vecteurs directeurs $\vec{u_1}(-2\,;3)$ et $\vec{u_2}(3\,;-6)$ sont colinéaires.
On calcule le déterminant : $x_{\vec{u_1}}y_{\vec{u_2}} - y_{\vec{u_1}}x_{\vec{u_2}} = (-2) \times (-6) - 3 \times 3 = 12 - 9 = 3$.
Le déterminant est $3$, qui est non nul. Les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
Questions fréquentes
Pourquoi un vecteur directeur doit-il être non nul ?
Peut-on trouver plusieurs vecteurs directeurs pour une même droite ?
Comment trouver le coefficient directeur d'une droite à partir de son vecteur directeur ?
Est-ce que toutes les droites ont un vecteur directeur ?
Pour aller plus loin
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