Coordonnées d'un vecteur – Fiche Maths Seconde

Q: Comment savoir si des points sont alignés avec les vecteurs ?

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un réel k tel que \overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}. En termes de coordonnées, si \overrightarrow{AB}(x\,;y) et \overrightarrow{AC}(x'\,;y'), ils sont colinéaires si xy' - yx' = 0 (produit en croix nul).

Q: Quelle est la différence entre les coordonnées d'un point et d'un vecteur ?

Les coordonnées d'un point (x\,;y) indiquent sa position exacte dans le repère par rapport à l'origine O. Les coordonnées d'un vecteur (x\,;y) indiquent un déplacement. Par exemple, le vecteur \overrightarrow{OM} a les mêmes coordonnées que le point M si O est l'origine du repère, car il représente le déplacement de l'origine O au point M.

Définition

Dans un repère $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j})$, tout vecteur $\vec{u}$ est caractérisé par ses coordonnées $(x\,;y)$. Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ sont deux points, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont données par la formule : $$(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$$ Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, c'est-à-dire si $x=x'$ et $y=y'$.

De A(1 ; −2) à B(4 ; 3) : on avance de 3 en abscisse et de 5 en ordonnée, donc AB(3 ; 5).

Bon réflexe : Toujours écrire les coordonnées des points et des vecteurs avec des parenthèses et un point-virgule : $(x\,;y)$.

Méthode : Coordonnées d'un vecteur

Calculer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$

Pour un vecteur $\overrightarrow{AB}$ avec $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, on utilise la formule : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$. On soustrait toujours les coordonnées du point d'origine aux coordonnées du point d'extrémité.

Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs

Si $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$, alors les coordonnées du vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ sont $(x+x'\,; y+y')$. On additionne les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles.

Calculer les coordonnées du produit d'un vecteur par un réel

Si $\vec{u}(x\,;y)$ et $k$ est un nombre réel, alors les coordonnées du vecteur $k\vec{u}$ sont $(kx\,; ky)$. On multiplie chaque coordonnée du vecteur par le réel $k$.

Vérifier l'égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont égaux si et seulement si $x=x'$ et $y=y'$. Il faut que leurs deux coordonnées soient identiques.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1\,; -2)$, $B(4\,; 3)$ et $C(-1\,; 1)$. On considère le vecteur $\vec{w} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w}$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$

Les coordonnées de $A$ sont $(1\,; -2)$ et celles de $B$ sont $(4\,; 3)$. $$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,; y_B - y_A) = \overrightarrow{AB}(4 - 1\,; 3 - (-2)) = \overrightarrow{AB}(3\,; 5)$$

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$

Les coordonnées de $B$ sont $(4\,; 3)$ et celles de $C$ sont $(-1\,; 1)$. $$\overrightarrow{BC}(x_C - x_B\,; y_C - y_B) = \overrightarrow{BC}(-1 - 4\,; 1 - 3) = \overrightarrow{BC}(-5\,; -2)$$

Calculer les coordonnées du vecteur $2\overrightarrow{AB}$

On a $\overrightarrow{AB}(3\,; 5)$. $$2\overrightarrow{AB}(2 \times 3\,; 2 \times 5) = 2\overrightarrow{AB}(6\,; 10)$$

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}$

On a $2\overrightarrow{AB}(6\,; 10)$ et $\overrightarrow{BC}(-5\,; -2)$. $$\vec{w}(6 - (-5)\,; 10 - (-2)) = \vec{w}(6 + 5\,; 10 + 2) = \vec{w}(11\,; 12)$$

Les coordonnées du vecteur $\vec{w}$ sont $(11\,; 12)$.

Erreur de signe ou d'ordre

Oublier la règle "extrémité moins origine" : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$. Une erreur courante est de faire $x_A - x_B$.
Faire une erreur de signe lors de la soustraction, surtout avec des coordonnées négatives. Par exemple, $3 - (-2)$ devient $3+2=5$, pas $3-2=1$.
Confondre les coordonnées d'un point et d'un vecteur. Un point a des coordonnées $(x\,;y)$, un vecteur aussi, mais ils ne représentent pas la même chose géométriquement.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on donne les points $E(-3\,; 4)$, $F(2\,; 1)$ et $G(7\,; -2)$.

Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont-ils égaux ? Justifier.
Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{v} = 3\overrightarrow{EF} + 2\overrightarrow{FG}$.

Calcul des coordonnées de $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ :
$\overrightarrow{EF}(x_F - x_E\,; y_F - y_E) = \overrightarrow{EF}(2 - (-3)\,; 1 - 4) = \overrightarrow{EF}(2 + 3\,; -3) = \overrightarrow{EF}(5\,; -3)$.
$\overrightarrow{FG}(x_G - x_F\,; y_G - y_F) = \overrightarrow{FG}(7 - 2\,; -2 - 1) = \overrightarrow{FG}(5\,; -3)$.
Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont égaux.
En effet, $\overrightarrow{EF}(5\,; -3)$ et $\overrightarrow{FG}(5\,; -3)$. Ils ont les mêmes coordonnées (abscisse $5$ et ordonnée $-3$), donc ils sont égaux.
Calcul des coordonnées du vecteur $\vec{v} = 3\overrightarrow{EF} + 2\overrightarrow{FG}$ :
On a $\overrightarrow{EF}(5\,; -3)$ et $\overrightarrow{FG}(5\,; -3)$.
D'abord, $3\overrightarrow{EF}(3 \times 5\,; 3 \times (-3)) = 3\overrightarrow{EF}(15\,; -9)$.
Ensuite, $2\overrightarrow{FG}(2 \times 5\,; 2 \times (-3)) = 2\overrightarrow{FG}(10\,; -6)$.
Enfin, $\vec{v}(15 + 10\,; -9 + (-6)) = \vec{v}(25\,; -15)$.
Les coordonnées du vecteur $\vec{v}$ sont $(25\,; -15)$.

Questions fréquentes

Pourquoi soustraire les coordonnées du point d'origine ?

Les coordonnées d'un vecteur représentent le "déplacement" pour aller de l'origine à l'extrémité. Si vous partez de $A(x_A\,;y_A)$ et arrivez à $B(x_B\,;y_B)$, le déplacement horizontal est $x_B - x_A$ et le déplacement vertical est $y_B - y_A$. C'est la différence entre la position finale et la position initiale.

Un vecteur a-t-il une position dans le repère ?

Non, un vecteur n'a pas de position fixe. Il est défini par sa direction, son sens et sa longueur (sa norme). Plusieurs flèches peuvent représenter le même vecteur si elles ont les mêmes caractéristiques. C'est pour cela que les coordonnées d'un vecteur sont indépendantes de son point d'origine. Par exemple, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ peuvent être égaux même si les points $A, B, C, D$ sont différents.

Comment savoir si des points sont alignés avec les vecteurs ?

Trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$. En termes de coordonnées, si $\overrightarrow{AB}(x\,;y)$ et $\overrightarrow{AC}(x'\,;y')$, ils sont colinéaires si $xy' - yx' = 0$ (produit en croix nul).

Quelle est la différence entre les coordonnées d'un point et d'un vecteur ?

Les coordonnées d'un point $(x\,;y)$ indiquent sa position exacte dans le repère par rapport à l'origine $O$. Les coordonnées d'un vecteur $(x\,;y)$ indiquent un déplacement. Par exemple, le vecteur $\overrightarrow{OM}$ a les mêmes coordonnées que le point $M$ si $O$ est l'origine du repère, car il représente le déplacement de l'origine $O$ au point $M$.

Pour aller plus loin

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