Géométrie et vecteurs · Fiche N°28 / 80

Coordonnées du milieu d'un segment

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Dans un repère $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j})$, si $A$ et $B$ sont deux points de coordonnées respectives $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $M(x_M\,;y_M)$ avec : $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$. Ces formules permettent de calculer les coordonnées du point situé exactement à mi-chemin entre $A$ et $B$.

-1123456-1123450A(0 ; 4)B(5 ; 0)I(2,5 ; 2)
I est le milieu de [AB] : x_I = (0 + 5)/2 = 2,5 et y_I = (4 + 0)/2 = 2.
Bon réflexe : Pensez à la moyenne des coordonnées : c'est l'idée clé derrière la formule du milieu.

Méthode : Coordonnées du milieu d'un segment

1

Identifier les coordonnées

Notez les coordonnées des deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ dont vous voulez trouver le milieu.

2

Calculer l'abscisse du milieu

Appliquez la formule pour l'abscisse : $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$. Additionnez les abscisses des deux points et divisez le résultat par $2$.

3

Calculer l'ordonnée du milieu

Appliquez la formule pour l'ordonnée : $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$. Additionnez les ordonnées des deux points et divisez le résultat par $2$.

4

Écrire les coordonnées du milieu

Présentez le résultat sous la forme $M(x_M\,;y_M)$.

Exemple résolu

Soient deux points $A(-3\,;5)$ et $B(7\,;-1)$ dans un repère orthonormé. Calculer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[AB]$.
1
Identifier les coordonnées des points $A$ et $B$.
Les coordonnées de $A$ sont $x_A = -3$ et $y_A = 5$. Les coordonnées de $B$ sont $x_B = 7$ et $y_B = -1$.
2
Calculer l'abscisse du milieu $M$.
On applique la formule $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$. $x_M = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
3
Calculer l'ordonnée du milieu $M$.
On applique la formule $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$. $y_M = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Le milieu $M$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $M(2\,;2)$.

Erreurs fréquentes avec les coordonnées du milieu

  1. Ne pas diviser par 2 : L'erreur la plus courante est d'additionner les coordonnées sans diviser par 2. Rappelez-vous que c'est une moyenne.
  2. Mélanger abscisses et ordonnées : Assurez-vous d'additionner les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles. Ne pas faire $x_A + y_B$ par exemple.
  3. Erreurs de signe : Soyez vigilant avec les nombres négatifs. Par exemple, $-3 + (-5) = -8$, pas $-2$.
  4. Confondre avec la distance : La formule du milieu n'a rien à voir avec la formule de la distance entre deux points.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $P(4\,;-2)$ et $Q(-6\,;8)$.
  1. Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[PQ]$.
  2. Soit $J(1\,;3)$. Le point $J$ est-il le milieu du segment $[PQ]$ ? Justifier la réponse.

  1. Pour calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[PQ]$, on utilise les formules :

    • Abscisse de $I$: $x_I = \frac{x_P + x_Q}{2}$
    • Ordonnée de $I$: $y_I = \frac{y_P + y_Q}{2}$

    Avec $P(4\,;-2)$ et $Q(-6\,;8)$ :

    • $x_I = \frac{4 + (-6)}{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
    • $y_I = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

    Donc, les coordonnées du milieu $I$ du segment $[PQ]$ sont $I(-1\,;3)$.

  2. On a trouvé que le milieu du segment $[PQ]$ est $I(-1\,;3)$.

    Le point $J$ a pour coordonnées $J(1\,;3)$.

    Puisque l'abscisse de $J$ ($1$) est différente de l'abscisse de $I$ ($-1$), le point $J$ n'est pas le milieu du segment $[PQ]$.

Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre des points $A$ et $B$ a une importance dans la formule ?
Non, l'ordre n'a pas d'importance. L'addition est commutative, donc $x_A + x_B = x_B + x_A$ et $y_A + y_B = y_B + y_A$. Vous obtiendrez toujours les mêmes coordonnées pour le milieu.
La formule est-elle la même si le repère n'est pas orthonormé ?
Oui, la formule des coordonnées du milieu d'un segment reste la même quel que soit le repère (orthonormé ou non). La notion de milieu est une propriété affine, elle ne dépend pas de la métrique (distances, angles) du repère.
Comment vérifier mon résultat ?
Vous pouvez vérifier votre résultat en plaçant les points sur un graphique. Le milieu doit visuellement se trouver au centre du segment. Une autre méthode est de calculer les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{MB}$. Si $M$ est le milieu, alors $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ (ou $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$).
Que faire si je connais le milieu et un des points, et que je cherche l'autre point ?
Vous pouvez utiliser les mêmes formules en les réarrangeant. Par exemple, si vous connaissez $M(x_M\,;y_M)$ et $A(x_A\,;y_A)$, et que vous cherchez $B(x_B\,;y_B)$, vous avez $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$. En multipliant par 2, on obtient $2x_M = x_A + x_B$, donc $x_B = 2x_M - x_A$. De même, $y_B = 2y_M - y_A$.

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