Définition
Dans le plan, un repère est un ensemble de trois points non alignés $O$, $I$, $J$.
- Le point $O$ est l'origine du repère.
- La droite $(OI)$ est l'axe des abscisses.
- La droite $(OJ)$ est l'axe des ordonnées.
Un repère est dit orthogonal si les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires. Il est dit orthonormé si, en plus, $OI = OJ = 1$ (unité de longueur).
Bon réflexe : Toujours vérifier si le repère est orthonormé avant d'utiliser la formule de distance.
Méthode : Repère du plan et coordonnées d'un point
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Placer un point
Pour placer un point $M(x_M\,; y_M)$ dans un repère :
- Partir de l'origine $O$.
- Se déplacer horizontalement de $x_M$ unités (vers la droite si $x_M \gt 0$, vers la gauche si $x_M \lt 0$).
- Se déplacer verticalement de $y_M$ unités (vers le haut si $y_M \gt 0$, vers le bas si $y_M \lt 0$).
2
Lire les coordonnées
Pour lire les coordonnées d'un point $M$ dans un repère :
- Tracer la droite passant par $M$ et parallèle à l'axe des ordonnées. Son intersection avec l'axe des abscisses donne $x_M$.
- Tracer la droite passant par $M$ et parallèle à l'axe des abscisses. Son intersection avec l'axe des ordonnées donne $y_M$.
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Calculer la distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points $A(x_A\,; y_A)$ et $B(x_B\,; y_B)$ est donnée par la formule : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
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Calculer les coordonnées du milieu d'un segment
Dans un repère, les coordonnées du milieu $M$ d'un segment $[AB]$ sont : $$M\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
Exemple résolu
Dans un repère orthonormé $(O\,; I\,; J)$, on considère les points $A(-2\,; 3)$ et $B(4\,; -1)$.
1
Calculer la distance $AB$.
On utilise la formule de distance dans un repère orthonormé :
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
$$AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2}$$
$$AB = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-4)^2}$$
$$AB = \sqrt{6^2 + 16}$$
$$AB = \sqrt{36 + 16}$$
$$AB = \sqrt{52}$$
$$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$
$$AB = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2}$$
$$AB = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-4)^2}$$
$$AB = \sqrt{6^2 + 16}$$
$$AB = \sqrt{36 + 16}$$
$$AB = \sqrt{52}$$
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Calculer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[AB]$.
On utilise la formule des coordonnées du milieu :
$$K\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
$$K\left(\frac{-2 + 4}{2}\,; \frac{3 + (-1)}{2}\right)$$
$$K\left(\frac{2}{2}\,; \frac{2}{2}\right)$$
$$K(1\,; 1)$$
$$K\left(\frac{x_A + x_B}{2}\,; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$
$$K\left(\frac{-2 + 4}{2}\,; \frac{3 + (-1)}{2}\right)$$
$$K\left(\frac{2}{2}\,; \frac{2}{2}\right)$$
$$K(1\,; 1)$$
La distance $AB$ est $\sqrt{52}$ et le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées $(1\,; 1)$.
Confondre repère orthogonal et orthonormé
- La formule de la distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ n'est valable QUE dans un repère orthonormé. Si le repère est seulement orthogonal, ou quelconque, cette formule est fausse.
- Ne pas faire attention aux signes lors des calculs de différences : $(x_B - x_A)$ et $(y_B - y_A)$. Par exemple, $4 - (-2) = 4 + 2 = 6$.
- Oublier que le carré d'un nombre négatif est positif : $(-4)^2 = 16$, pas $-16$.
Exercice type contrôle
Dans un repère orthonormé, on donne les points $E(-3\,; 2)$, $F(1\,; 5)$ et $G(5\,; 1)$.- Calculer les longueurs $EF$, $FG$ et $GE$.
- Le triangle $EFG$ est-il isocèle ? Justifier.
- Le triangle $EFG$ est-il rectangle ? Justifier.
- Calculons les longueurs $EF$, $FG$ et $GE$ en utilisant la formule de distance dans un repère orthonormé :
$$EF = \sqrt{(x_F - x_E)^2 + (y_F - y_E)^2}$$
$$EF = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2}$$
$$EF = \sqrt{(1 + 3)^2 + 3^2}$$
$$EF = \sqrt{4^2 + 3^2}$$
$$EF = \sqrt{16 + 9}$$
$$EF = \sqrt{25} = 5$$
$$FG = \sqrt{(x_G - x_F)^2 + (y_G - y_F)^2}$$
$$FG = \sqrt{(5 - 1)^2 + (1 - 5)^2}$$
$$FG = \sqrt{4^2 + (-4)^2}$$
$$FG = \sqrt{16 + 16}$$
$$FG = \sqrt{32}$$
$$GE = \sqrt{(x_E - x_G)^2 + (y_E - y_G)^2}$$
$$GE = \sqrt{(-3 - 5)^2 + (2 - 1)^2}$$
$$GE = \sqrt{(-8)^2 + 1^2}$$
$$GE = \sqrt{64 + 1}$$
$$GE = \sqrt{65}$$ - Pour savoir si le triangle $EFG$ est isocèle, nous comparons les longueurs des côtés :
$EF = 5$
$FG = \sqrt{32}$
$GE = \sqrt{65}$
Les trois longueurs sont différentes. Donc, le triangle $EFG$ n'est pas isocèle. - Pour savoir si le triangle $EFG$ est rectangle, nous utilisons la réciproque du théorème de Pythagore. Le plus long côté est $GE = \sqrt{65}$.
Calculons $GE^2$, $EF^2$ et $FG^2$ :
$GE^2 = (\sqrt{65})^2 = 65$
$EF^2 = 5^2 = 25$
$FG^2 = (\sqrt{32})^2 = 32$
Vérifions si $GE^2 = EF^2 + FG^2$ :
$25 + 32 = 57$
Comme $65 \neq 57$, on a $GE^2 \neq EF^2 + FG^2$.
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle $EFG$ n'est pas rectangle.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un repère orthogonal et un repère orthonormé ?
Un repère est orthogonal si ses axes sont perpendiculaires. Il est orthonormé s'il est orthogonal ET si les unités de longueur sur les deux axes sont égales ($OI = OJ = 1$). Un repère orthonormé est donc un cas particulier de repère orthogonal.
Est-ce que l'ordre des points compte dans la formule de distance ?
Non, l'ordre des points n'a pas d'importance pour la distance. $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$ car le carré d'un nombre est égal au carré de son opposé. Donc $AB = BA$.
Peut-on avoir des coordonnées négatives ?
Oui, les coordonnées peuvent être des nombres réels, positifs, négatifs ou nuls. L'origine $O$ a pour coordonnées $(0\,; 0)$.
Comment savoir si trois points sont alignés ?
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si la plus grande des trois longueurs ($AB$, $BC$, $AC$) est égale à la somme des deux autres. Par exemple, si $AC$ est la plus grande longueur, les points sont alignés si et seulement si $AC = AB + BC$. Pour appliquer cette méthode, il faut calculer les trois distances, en rappelant que la formule de distance de cette fiche n'est valable que dans un repère orthonormé.
Pour aller plus loin
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