Géométrie et vecteurs · Fiche N°29 / 80

Distance entre deux points dans un repère orthonormé

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j})$, la distance entre deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ est la longueur du segment $[AB]$. Elle se calcule à l'aide de la formule : $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$ Cette formule est une application du théorème de Pythagore. Le carré de la distance est $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.

123456123450AB = 543AB
AB = √((5 − 1)² + (4 − 1)²) = √(16 + 9) = √25 = 5 (théorème de Pythagore).
Bon réflexe : Toujours vérifier que le repère est orthonormé avant d'appliquer la formule de la distance.

Méthode : Distance entre deux points dans un repère orthonormé

1

Identifier les coordonnées

Notez clairement les coordonnées des deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$. Assurez-vous que le repère est bien orthonormé.

2

Calculer les écarts

Calculez la différence des abscisses $(x_B - x_A)$ et la différence des ordonnées $(y_B - y_A)$. L'ordre n'a pas d'importance pour le carré car $(x_B - x_A)^2 = (x_A - x_B)^2$.

3

Élever au carré

Élevez au carré chacun des écarts : $(x_B - x_A)^2$ et $(y_B - y_A)^2$. Le résultat doit toujours être positif ou nul.

4

Additionner les carrés

Additionnez les deux résultats obtenus : $(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. C'est le carré de la distance $AB^2$.

5

Prendre la racine carrée

Pour obtenir la distance $AB$, prenez la racine carrée du résultat précédent : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$. Simplifiez la racine si possible ou donnez une valeur approchée si demandé.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé, on considère les points $M(-2\,;3)$ et $N(4\,;-1)$. Calculer la distance $MN$.
1
Identifier les coordonnées
Les coordonnées des points sont $M(x_M\,;y_M) = M(-2\,;3)$ et $N(x_N\,;y_N) = N(4\,;-1)$.
2
Calculer les écarts
Différence des abscisses : $x_N - x_M = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$.
Différence des ordonnées : $y_N - y_M = -1 - 3 = -4$.
3
Élever au carré
Carré de la différence des abscisses : $(x_N - x_M)^2 = 6^2 = 36$.
Carré de la différence des ordonnées : $(y_N - y_M)^2 = (-4)^2 = 16$.
4
Additionner les carrés
Somme des carrés : $MN^2 = 36 + 16 = 52$.
5
Prendre la racine carrée
Distance $MN = \sqrt{52}$. On peut simplifier la racine : $\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = \sqrt{4} \times \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$.
La distance entre les points $M$ et $N$ est $MN = 2\sqrt{13}$.

Confondre distance et coordonnées

  1. Oublier le signe moins lors du calcul des différences : $x_B - x_A$ doit être fait avec attention, surtout si $x_A$ ou $x_B$ est négatif.
  2. Oublier la racine carrée à la fin : le résultat de la somme des carrés est $AB^2$, pas $AB$.
  3. Faire une erreur de signe en élevant au carré : $(-a)^2 = a^2$. Un carré est toujours positif ou nul.
  4. Utiliser cette formule dans un repère non orthonormé. La formule n'est valable que si les axes sont perpendiculaires et les unités de longueur identiques sur les deux axes.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1\,;5)$, $B(-3\,;2)$ et $C(5\,;-1)$.
  1. Calculer la distance $AB$.
  2. Calculer la distance $BC$.
  3. Le triangle $ABC$ est-il isocèle en $B$ ? Justifier votre réponse.
  1. Calcul de la distance $AB$ :
    On a $A(1\,;5)$ et $B(-3\,;2)$.
    $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$
    $AB^2 = (-3 - 1)^2 + (2 - 5)^2$
    $AB^2 = (-4)^2 + (-3)^2$
    $AB^2 = 16 + 9$
    $AB^2 = 25$
    $AB = \sqrt{25} = 5$.
    La distance $AB$ est $5$.
  2. Calcul de la distance $BC$ :
    On a $B(-3\,;2)$ et $C(5\,;-1)$.
    $BC^2 = (x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2$
    $BC^2 = (5 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2$
    $BC^2 = (5 + 3)^2 + (-3)^2$
    $BC^2 = 8^2 + (-3)^2$
    $BC^2 = 64 + 9$
    $BC^2 = 73$
    $BC = \sqrt{73}$.
    La distance $BC$ est $\sqrt{73}$.
  3. Le triangle $ABC$ est-il isocèle en $B$ ?
    Un triangle est isocèle en $B$ si les longueurs $BA$ et $BC$ sont égales.
    Nous avons trouvé $AB = 5$ et $BC = \sqrt{73}$.
    Puisque $5 \neq \sqrt{73}$ (car $5^2 = 25$ et $(\sqrt{73})^2 = 73$), les longueurs $BA$ et $BC$ ne sont pas égales.
    Donc, le triangle $ABC$ n'est pas isocèle en $B$.

Questions fréquentes

Pourquoi la formule de la distance utilise-t-elle la racine carrée ?
La formule de la distance est une application directe du théorème de Pythagore. Si vous imaginez un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment $[AB]$ et les côtés de l'angle droit sont parallèles aux axes, leurs longueurs sont $|x_B - x_A|$ et $|y_B - y_A|$. Le théorème de Pythagore dit que $AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$. Pour trouver $AB$, il faut donc prendre la racine carrée de cette somme.
Est-ce que l'ordre des points $A$ et $B$ a une importance dans la formule ?
Non, l'ordre n'a pas d'importance. En effet, $(x_B - x_A)^2 = (-(x_A - x_B))^2 = (x_A - x_B)^2$. Le carré d'un nombre et le carré de son opposé sont toujours égaux. Donc, que vous calculiez $(x_B - x_A)^2$ ou $(x_A - x_B)^2$, le résultat sera le même. Idem pour les ordonnées.
Que signifie 'repère orthonormé' ?
Un repère est dit orthonormé si ses deux axes sont perpendiculaires (orthogonaux) et si l'unité de longueur est la même sur les deux axes (normé). C'est une condition essentielle pour que la formule de la distance soit valide.
Peut-on utiliser cette formule pour vérifier l'alignement de trois points ?
Oui, on peut. Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si la somme de deux des distances est égale à la troisième. Par exemple, si $AB + BC = AC$, alors les points sont alignés dans cet ordre. C'est une méthode possible, bien que l'utilisation des vecteurs colinéaires soit souvent plus rapide.

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