Définition
En géométrie plane, deux droites peuvent être soit parallèles, soit sécantes. Elles sont parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Elles sont sécantes si elles ont un unique point commun, appelé point d'intersection. Pour déterminer la position relative de deux droites à partir de leurs équations, on utilise leurs coefficients directeurs.
Bon réflexe : Toujours commencer par transformer les équations des droites en leur forme réduite $y = mx + p$ (sauf pour les droites verticales $x=c$).
Méthode : Droites parallèles ou sécantes
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Écrire les équations réduites
Pour chaque droite, écrire son équation sous la forme réduite $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine. Si la droite est verticale, son équation est de la forme $x = c$ (elle n'a pas de coefficient directeur).
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Comparer les coefficients directeurs
Soient deux droites $D_1$ d'équation $y = m_1x + p_1$ et $D_2$ d'équation $y = m_2x + p_2$ :
- Si $m_1 = m_2$, les droites sont parallèles.
- Si $m_1 \neq m_2$, les droites sont sécantes.
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Cas des droites parallèles
Si $m_1 = m_2$ :
- Si $p_1 = p_2$, les droites sont confondues (elles ont tous leurs points en commun).
- Si $p_1 \neq p_2$, les droites sont strictement parallèles (elles n'ont aucun point en commun).
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Cas des droites sécantes
Si $m_1 \neq m_2$, les droites sont sécantes. Pour trouver les coordonnées de leur point d'intersection, on résout le système formé par leurs deux équations : $m_1x + p_1 = m_2x + p_2$.
Exemple résolu
Déterminer la position relative des droites $D_1$ et $D_2$ dont les équations sont : $D_1: 3x - y + 2 = 0$ et $D_2: y = -2x + 5$. Si elles sont sécantes, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.
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Écrire les équations réduites
Pour $D_1: 3x - y + 2 = 0$, on isole $y$: $y = 3x + 2$.
Pour $D_2: y = -2x + 5$, l'équation est déjà sous forme réduite.
Pour $D_2: y = -2x + 5$, l'équation est déjà sous forme réduite.
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Identifier les coefficients directeurs
Pour $D_1$, le coefficient directeur est $m_1 = 3$.
Pour $D_2$, le coefficient directeur est $m_2 = -2$.
Pour $D_2$, le coefficient directeur est $m_2 = -2$.
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Comparer les coefficients directeurs
On a $m_1 = 3$ et $m_2 = -2$. Puisque $m_1 \neq m_2$, les droites $D_1$ et $D_2$ sont sécantes.
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Calculer le point d'intersection
Pour trouver le point d'intersection, on résout le système :
$$3x + 2 = -2x + 5$$
$$3x + 2x = 5 - 2$$
$$5x = 3$$
$$x = \frac{3}{5}$$
On substitue $x = \frac{3}{5}$ dans l'une des équations, par exemple celle de $D_2$:
$$y = -2\left(\frac{3}{5}\right) + 5$$
$$y = -\frac{6}{5} + \frac{25}{5}$$
$$y = \frac{19}{5}$$
$$3x + 2 = -2x + 5$$
$$3x + 2x = 5 - 2$$
$$5x = 3$$
$$x = \frac{3}{5}$$
On substitue $x = \frac{3}{5}$ dans l'une des équations, par exemple celle de $D_2$:
$$y = -2\left(\frac{3}{5}\right) + 5$$
$$y = -\frac{6}{5} + \frac{25}{5}$$
$$y = \frac{19}{5}$$
Les droites $D_1$ et $D_2$ sont sécantes. Leur point d'intersection a pour coordonnées $\left(\frac{3}{5}\,;\frac{19}{5}\right)$.
Confondre parallèle et confondu
- Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. Si elles ont aussi la même ordonnée à l'origine, elles sont confondues (elles représentent la même droite).
- Ne pas vérifier l'ordonnée à l'origine $p$ après avoir constaté que les coefficients directeurs $m$ sont égaux. Si $m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$, les droites sont strictement parallèles.
- Oublier que les droites verticales ($x=c$) n'ont pas de coefficient directeur et doivent être traitées séparément.
Exercice type contrôle
Déterminer la position relative de chaque paire de droites. Si elles sont sécantes, calculer les coordonnées de leur point d'intersection.- $D_A: 2x + y - 3 = 0$ et $D_B: y = -2x + 1$
- $D_C: -x + 4y = 8$ et $D_D: y = \frac{1}{4}x + 2$
- $D_E: x = 5$ et $D_F: y = 3x - 2$
- Pour $D_A$ et $D_B$:
Équation réduite de $D_A$: $y = -2x + 3$.
Équation réduite de $D_B$: $y = -2x + 1$.
Les coefficients directeurs sont $m_A = -2$ et $m_B = -2$. Ils sont égaux.
Les ordonnées à l'origine sont $p_A = 3$ et $p_B = 1$. Elles sont différentes ($3 \neq 1$).
Donc, les droites $D_A$ et $D_B$ sont strictement parallèles. - Pour $D_C$ et $D_D$:
Équation réduite de $D_C$: $-x + 4y = 8 \implies 4y = x + 8 \implies y = \frac{1}{4}x + 2$.
Équation réduite de $D_D$: $y = \frac{1}{4}x + 2$.
Les coefficients directeurs sont $m_C = \frac{1}{4}$ et $m_D = \frac{1}{4}$. Ils sont égaux.
Les ordonnées à l'origine sont $p_C = 2$ et $p_D = 2$. Elles sont égales.
Donc, les droites $D_C$ et $D_D$ sont confondues. - Pour $D_E$ et $D_F$:
$D_E: x = 5$ est une droite verticale.
$D_F: y = 3x - 2$ est une droite non verticale (son coefficient directeur est $m_F = 3$).
Une droite verticale et une droite non verticale sont toujours sécantes.
Pour trouver le point d'intersection, on substitue $x = 5$ dans l'équation de $D_F$:
$y = 3(5) - 2 = 15 - 2 = 13$.
Le point d'intersection a pour coordonnées $(5\,;13)$.
Questions fréquentes
Comment savoir si une droite est verticale ?
Une droite est verticale si son équation est de la forme $x = c$, où $c$ est une constante. Elle n'a pas de coefficient directeur et est parallèle à l'axe des ordonnées.
Peut-on utiliser les vecteurs directeurs pour déterminer la position relative ?
Oui, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles sont sécantes si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. C'est une autre méthode valide en Seconde.
Que signifie 'confondues' ?
Deux droites confondues sont en fait la même droite. Elles ont tous leurs points en commun. Leurs équations réduites sont identiques ($m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$).
Pourquoi est-il important de mettre les équations sous forme réduite $y=mx+p$ ?
La forme réduite permet d'identifier directement le coefficient directeur $m$ et l'ordonnée à l'origine $p$, qui sont les éléments clés pour comparer les droites. Sans cette forme, la comparaison est plus complexe et sujette à erreurs.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
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