Géométrie et vecteurs · Fiche N°34 / 80

Équation réduite d'une droite et coefficient directeur

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

L'équation réduite d'une droite non verticale est de la forme $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (ou pente) et $p$ est l'ordonnée à l'origine. Le coefficient directeur $m$ indique l'inclinaison de la droite. L'ordonnée à l'origine $p$ est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées. Pour une droite verticale, l'équation est de la forme $x = c$, où $c$ est une constante.

-2-11234-2-1123450+2+3p = 1y = 1,5x + 1
Pour y = mx + p : m = 3/2 = 1,5 (on monte de 3 quand on avance de 2) et p = 1.
Bon réflexe : Toujours vérifier si la droite est verticale avant de calculer le coefficient directeur, en comparant les abscisses des deux points.

Méthode : Équation réduite d'une droite et coefficient directeur

1

Calculer le coefficient directeur $m$

Si une droite passe par deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ avec $x_A \neq x_B$, son coefficient directeur $m$ est donné par la formule : $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$

2

Calculer l'ordonnée à l'origine $p$

Une fois $m$ calculé, on utilise l'équation $y = mx + p$. On remplace $x$ et $y$ par les coordonnées d'un des points (par exemple $A(x_A\,;y_A)$) et $m$ par sa valeur. On obtient alors une équation simple pour trouver $p$: $y_A = m x_A + p$.

3

Écrire l'équation réduite

On remplace $m$ et $p$ par les valeurs trouvées dans la forme $y = mx + p$. Si la droite est verticale (c'est-à-dire $x_A = x_B$), son équation est $x = x_A$.

Exemple résolu

Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$ passant par les points $A(-2\,;3)$ et $B(4\,;-1)$.
1
Calculer le coefficient directeur $m$
Les coordonnées des points sont $A(-2\,;3)$ et $B(4\,;-1)$.
On applique la formule : $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 3}{4 - (-2)} = \frac{-4}{4 + 2} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$
Le coefficient directeur est $m = -\frac{2}{3}$.
2
Calculer l'ordonnée à l'origine $p$
L'équation de la droite est de la forme $y = -\frac{2}{3}x + p$.
On utilise les coordonnées du point $A(-2\,;3)$. On remplace $x$ par $-2$ et $y$ par $3$ dans l'équation :
$$3 = -\frac{2}{3} \times (-2) + p$$
$$3 = \frac{4}{3} + p$$
$$p = 3 - \frac{4}{3} = \frac{9}{3} - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$$
L'ordonnée à l'origine est $p = \frac{5}{3}$.
3
Écrire l'équation réduite
En remplaçant $m$ et $p$ par leurs valeurs, on obtient l'équation réduite de la droite.
L'équation réduite de la droite $(AB)$ est $y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$.

Piège fréquent en Seconde : Droites verticales

  1. Oublier de vérifier si la droite est verticale. Si $x_A = x_B$, le dénominateur $x_B - x_A$ serait nul, rendant le calcul de $m$ impossible. Dans ce cas, l'équation est de la forme $x = x_A$.
  2. Confondre $m$ et $p$. Le coefficient directeur $m$ est le nombre qui multiplie $x$, l'ordonnée à l'origine $p$ est la constante.
  3. Erreurs de signe lors du calcul de $m$ ou $p$, surtout avec des coordonnées négatives.

Exercice type contrôle

La droite $(D)$ passe par les points $E(1\,;-4)$ et $F(3\,;2)$.
  1. Déterminer le coefficient directeur de la droite $(D)$.
  2. Déterminer l'ordonnée à l'origine de la droite $(D)$.
  3. En déduire l'équation réduite de la droite $(D)$.
  1. Déterminer le coefficient directeur $m$ :
    Les coordonnées des points sont $E(1\,;-4)$ et $F(3\,;2)$.
    $$m = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{2 - (-4)}{3 - 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
    Le coefficient directeur de la droite $(D)$ est $m = 3$.
  2. Déterminer l'ordonnée à l'origine $p$ :
    L'équation de la droite est de la forme $y = 3x + p$.
    On utilise les coordonnées du point $E(1\,;-4)$. On remplace $x$ par $1$ et $y$ par $-4$ :
    $$-4 = 3 \times 1 + p$$
    $$-4 = 3 + p$$
    $$p = -4 - 3 = -7$$
    L'ordonnée à l'origine de la droite $(D)$ est $p = -7$.
  3. En déduire l'équation réduite de la droite $(D)$ :
    Avec $m = 3$ et $p = -7$, l'équation réduite de la droite $(D)$ est $y = 3x - 7$.

Questions fréquentes

Comment savoir si une droite est verticale ?
Une droite est verticale si tous les points qui la composent ont la même abscisse. Si vous avez deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, la droite $(AB)$ est verticale si et seulement si $x_A = x_B$. Dans ce cas, son équation est $x = x_A$ (ou $x = x_B$). Par exemple, la droite passant par $(2\,;1)$ et $(2\,;5)$ a pour équation $x = 2$.
Que signifie l'ordonnée à l'origine $p$ ?
L'ordonnée à l'origine $p$ est la valeur de $y$ lorsque $x = 0$. Graphiquement, c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Si $p = 0$, la droite passe par l'origine du repère $(0\,;0)$.
Comment vérifier si un point appartient à une droite dont on connaît l'équation ?
Pour vérifier si un point $M(x_M\,;y_M)$ appartient à une droite d'équation $y = mx + p$, il suffit de remplacer $x$ par $x_M$ et $y$ par $y_M$ dans l'équation. Si l'égalité est vérifiée, le point appartient à la droite. Par exemple, pour la droite $y = 2x + 1$, le point $(3\,;7)$ appartient à la droite car $7 = 2 \times 3 + 1$ ($7 = 6 + 1$, ce qui est vrai).
Comment tracer une droite à partir de son équation réduite ?
Pour tracer une droite d'équation $y = mx + p$, vous avez besoin de deux points. Le premier est facile à trouver : c'est le point d'ordonnée à l'origine $(0\,;p)$. Pour le second, choisissez une valeur simple pour $x$ (par exemple $x=1$ ou $x=2$) et calculez le $y$ correspondant. Par exemple, pour $y = 2x + 1$, le premier point est $(0\,;1)$. Si $x=2$, $y = 2 \times 2 + 1 = 5$, donc le deuxième point est $(2\,;5)$. Tracez la droite passant par ces deux points.

Pour aller plus loin

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