Systèmes de deux équations à deux inconnues – Fiche Maths Seconde

Q: Comment interpréter graphiquement la solution d'un système ?

Chaque équation linéaire à deux inconnues (ax + by = c) représente une droite dans un repère cartésien. La solution du système (x_0\,; y_0) correspond aux coordonnées du point d'intersection de ces deux droites. Si les droites sont parallèles et distinctes, il n'y a pas de solution. Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.

Définition

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré qui doivent être vérifiées simultanément par les mêmes valeurs des inconnues $x$ et $y$. Il se présente généralement sous la forme :
$$\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}$$
où $a, b, c, d, e, f$ sont des nombres réels connus, et $x, y$ sont les inconnues à déterminer. La solution d'un tel système est un couple de nombres $(x_0\,; y_0)$ qui vérifie les deux équations.

Bon réflexe : Toujours vérifier votre solution en remplaçant les valeurs de $x$ et $y$ dans les deux équations initiales.

Méthode : Systèmes de deux équations à deux inconnues

Méthode par substitution

1. Dans l'une des équations, exprimer une inconnue en fonction de l'autre (par exemple, $y$ en fonction de $x$).
2. Substituer cette expression dans l'autre équation. On obtient alors une équation à une seule inconnue.
3. Résoudre cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
4. Remplacer la valeur trouvée dans l'expression de la première étape pour obtenir la valeur de la seconde inconnue.
5. Vérifier la solution en remplaçant les valeurs de $x$ et $y$ dans les deux équations initiales.

Méthode par combinaison linéaire

1. Multiplier chaque équation par un nombre choisi de sorte que les coefficients d'une des inconnues deviennent opposés.
2. Additionner membre à membre les deux nouvelles équations. Cela élimine une des inconnues.
3. Résoudre l'équation à une inconnue obtenue.
4. Remplacer la valeur trouvée dans l'une des équations initiales pour obtenir la valeur de la seconde inconnue.
5. Vérifier la solution en remplaçant les valeurs de $x$ et $y$ dans les deux équations initiales.

Exemple résolu

Résolvons le système d'équations suivant :
$$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x - 2y = 8 \end{cases}$$

Choisir une méthode (ici, combinaison linéaire)

Pour éliminer $y$, nous allons multiplier la première équation par $2$ et la seconde par $3$.
$(2x + 3y = 7) \times 2 \implies 4x + 6y = 14$
$(5x - 2y = 8) \times 3 \implies 15x - 6y = 24$

Additionner les équations

Additionnons les deux nouvelles équations membre à membre :
$(4x + 6y) + (15x - 6y) = 14 + 24$
$4x + 15x + 6y - 6y = 38$
$19x = 38$

Résoudre pour la première inconnue

Nous obtenons une équation à une seule inconnue $x$ :
$19x = 38$
$x = \frac{38}{19}$
$x = 2$

Substituer pour la seconde inconnue

Remplaçons $x = 2$ dans la première équation initiale ($2x + 3y = 7$) :
$2 \times 2 + 3y = 7$
$4 + 3y = 7$
$3y = 7 - 4$
$3y = 3$
$y = \frac{3}{3}$
$y = 1$

Vérifier la solution

Vérifions avec la deuxième équation initiale ($5x - 2y = 8$) :
$5 \times 2 - 2 \times 1 = 10 - 2 = 8$.
La solution $(2\,; 1)$ vérifie bien les deux équations.

La solution du système est le couple $(2\,; 1)$.

Piège fréquent en Seconde : Erreurs de signe et de calcul

Oublier de multiplier tous les termes d'une équation (y compris le terme constant) lors de la combinaison linéaire.
Faire des erreurs de signe lors de l'addition ou de la soustraction des équations, surtout avec des nombres négatifs.
Ne pas vérifier la solution à la fin. Une vérification rapide permet de détecter la plupart des erreurs de calcul.

Exercice type contrôle

Résolvez les systèmes d'équations suivants :

$$\begin{cases} x + y = 10 \\ 3x - y = 6 \end{cases}$$
$$\begin{cases} 4x + 5y = 2 \\ 2x - 3y = 10 \end{cases}$$

Correction de l'exercice

Système 1 :
$$\begin{cases} x + y = 10 \quad (L_1) \\ 3x - y = 6 \quad (L_2) \end{cases}$$
Utilisons la méthode par combinaison linéaire. Les coefficients de $y$ sont déjà opposés ($+1$ et $-1$).
Additionnons $(L_1)$ et $(L_2)$ :
$(x + y) + (3x - y) = 10 + 6$
$4x = 16$
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Remplaçons $x = 4$ dans $(L_1)$ :
$4 + y = 10$
$y = 10 - 4$
$y = 6$
Vérification :
$(L_1) : 4 + 6 = 10$ (correct)
$(L_2) : 3 \times 4 - 6 = 12 - 6 = 6$ (correct)
La solution est le couple $(4\,; 6)$.
Système 2 :
$$\begin{cases} 4x + 5y = 2 \quad (L_1) \\ 2x - 3y = 10 \quad (L_2) \end{cases}$$
Utilisons la méthode par combinaison linéaire. Pour éliminer $x$, multiplions $(L_2)$ par $-2$ :
$(L_1) : 4x + 5y = 2$
$(L_2) \times (-2) : (2x - 3y) \times (-2) = 10 \times (-2) \implies -4x + 6y = -20$
Additionnons la nouvelle $(L_2)$ à $(L_1)$ :
$(4x + 5y) + (-4x + 6y) = 2 + (-20)$
$11y = -18$
$y = -\frac{18}{11}$
Remplaçons $y = -\frac{18}{11}$ dans $(L_2)$ :
$2x - 3 \times \left(-\frac{18}{11}\right) = 10$
$2x + \frac{54}{11} = 10$
$2x = 10 - \frac{54}{11}$
$2x = \frac{110}{11} - \frac{54}{11}$
$2x = \frac{56}{11}$
$x = \frac{56}{11 \times 2}$
$x = \frac{28}{11}$
Vérification :
$(L_1) : 4 \times \frac{28}{11} + 5 \times \left(-\frac{18}{11}\right) = \frac{112}{11} - \frac{90}{11} = \frac{22}{11} = 2$ (correct)
$(L_2) : 2 \times \frac{28}{11} - 3 \times \left(-\frac{18}{11}\right) = \frac{56}{11} + \frac{54}{11} = \frac{110}{11} = 10$ (correct)
La solution est le couple $\left(\frac{28}{11}\,; -\frac{18}{11}\right)$.

Questions fréquentes

Quand utiliser la méthode par substitution plutôt que par combinaison linéaire ?

La méthode par substitution est souvent plus simple quand une des inconnues a un coefficient de $1$ ou $-1$, car elle permet d'exprimer facilement une inconnue en fonction de l'autre sans introduire de fractions. Par exemple, si vous avez $x + 2y = 5$, il est facile d'écrire $x = 5 - 2y$.

Un système peut-il ne pas avoir de solution ou avoir une infinité de solutions ?

Oui, un système de deux équations à deux inconnues peut avoir :

Une solution unique (le cas le plus fréquent).
Aucune solution (les droites représentées par les équations sont parallèles et distinctes). Par exemple, si vous obtenez une égalité fausse comme $0 = 5$.
Une infinité de solutions (les deux équations représentent la même droite). Par exemple, si vous obtenez une égalité vraie comme $0 = 0$.

Comment interpréter graphiquement la solution d'un système ?

Chaque équation linéaire à deux inconnues ($ax + by = c$) représente une droite dans un repère cartésien. La solution du système $(x_0\,; y_0)$ correspond aux coordonnées du point d'intersection de ces deux droites. Si les droites sont parallèles et distinctes, il n'y a pas de solution. Si les droites sont confondues, il y a une infinité de solutions.

Est-il obligatoire de vérifier la solution ?

La vérification n'est pas toujours exigée dans la notation, mais c'est une étape cruciale pour s'assurer de l'exactitude de votre réponse. Elle permet de détecter rapidement les erreurs de calcul et de s'assurer que le couple trouvé satisfait bien les deux équations initiales. C'est un excellent réflexe à prendre.

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