Égalité de deux vecteurs et parallélogramme – Fiche Maths Seconde

Q: Pourquoi l'ordre des points est-il si important pour le parallélogramme ?

L'ordre des points dans l'égalité vectorielle \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} détermine la configuration du parallélogramme. Si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, cela signifie que le segment [AD] et le segment [BC] sont les diagonales du parallélogramme ABDC. Si l'on avait \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, alors ABCD serait un parallélogramme, avec [AC] et [BD] comme diagonales. L'ordre des lettres dans l'écriture du parallélogramme doit suivre le contour du quadrilatère.

Q: Peut-on utiliser la relation de Chasles avec l'égalité de vecteurs ?

Oui, absolument. Par exemple, si \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}, on peut écrire \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \vec{0}. En utilisant l'opposé d'un vecteur, \overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC}, donc \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}. On peut aussi écrire \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}. Si on insère un point O quelconque, on a \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}.

Q: Comment savoir si trois points sont alignés avec les vecteurs ?

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un nombre réel k tel que \overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}. Si k=1, alors C=B. Si k=0, alors C=A. Si k \neq 0 et k \neq 1, alors C est un point distinct sur la droite (AB).

Définition

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même longueur (norme).
Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont deux vecteurs, ils sont égaux si et seulement si le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. Attention à l'ordre des points : $A$, $B$, $D$, $C$.
L'égalité vectorielle $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que le point $D$ est l'image du point $C$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.

Bon réflexe : Pour l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, pense toujours au parallélogramme $ABDC$ (attention à l'ordre des lettres) ou à l'égalité des coordonnées des vecteurs.

Méthode : Égalité de deux vecteurs et parallélogramme

Traduire l'égalité vectorielle

L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ est équivalente à $ABDC$ est un parallélogramme. Cela signifie que les côtés opposés sont parallèles et de même longueur : $(AB) \parallel (CD)$ et $AB = CD$, et $(AC) \parallel (BD)$ et $AC = BD$.

Utiliser les coordonnées (si disponibles)

Si les points $A(x_A\,;y_A)$, $B(x_B\,;y_B)$, $C(x_C\,;y_C)$ et $D(x_D\,;y_D)$ sont donnés, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si leurs coordonnées sont égales :
$\begin{cases} x_B - x_A = x_D - x_C \\ y_B - y_A = y_D - y_C \end{cases}$

Calculer les coordonnées du quatrième point

Si l'on cherche les coordonnées d'un point $D(x_D\,;y_D)$ tel que $ABDC$ soit un parallélogramme, on utilise les égalités de coordonnées :
$\begin{cases} x_D = x_B - x_A + x_C \\ y_D = y_B - y_A + y_C \end{cases}$

Vérifier avec les milieux

Une propriété fondamentale du parallélogramme est que ses diagonales se coupent en leur milieu. Donc, si $ABDC$ est un parallélogramme, alors le milieu de $[AD]$ est le même que le milieu de $[BC]$.
Coordonnées du milieu $M$ de $[AD]$ : $M\left(\frac{x_A+x_D}{2}\,;\frac{y_A+y_D}{2}\right)$.
Coordonnées du milieu $N$ de $[BC]$ : $N\left(\frac{x_B+x_C}{2}\,;\frac{y_B+y_C}{2}\right)$.
On doit avoir $M=N$.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;-1)$. Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.

Écrire l'égalité des coordonnées des vecteurs.

On a $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A\,; y_B-y_A) = (4-1\,; 3-2) = (3\,;1)$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $(x_D-x_C\,; y_D-y_C) = (x_D-2\,; y_D-(-1)) = (x_D-2\,; y_D+1)$.
L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ se traduit par :
$\begin{cases} 3 = x_D - 2 \\ 1 = y_D + 1 \end{cases}$

Résoudre le système d'équations pour trouver $x_D$ et $y_D$.

Pour la première équation : $3 = x_D - 2 \implies x_D = 3 + 2 \implies x_D = 5$.
Pour la deuxième équation : $1 = y_D + 1 \implies y_D = 1 - 1 \implies y_D = 0$.

Vérifier la nature du quadrilatère.

Puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. On peut vérifier cela en calculant les milieux des diagonales.
Milieu de $[AD]$ : $M_{AD}\left(\frac{x_A+x_D}{2}\,;\frac{y_A+y_D}{2}\right) = M_{AD}\left(\frac{1+5}{2}\,;\frac{2+0}{2}\right) = M_{AD}(3\,;1)$.
Milieu de $[BC]$ : $M_{BC}\left(\frac{x_B+x_C}{2}\,;\frac{y_B+y_C}{2}\right) = M_{BC}\left(\frac{4+2}{2}\,;\frac{3+(-1)}{2}\right) = M_{BC}\left(\frac{6}{2}\,;\frac{2}{2}\right) = M_{BC}(3\,;1)$.
Les milieux sont identiques, ce qui confirme que $ABDC$ est un parallélogramme.

Les coordonnées du point $D$ sont $(5\,;0)$.

Erreur d'ordre des points dans le parallélogramme

Confondre $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ avec $ABCD$ est un parallélogramme. L'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme (l'ordre des points est crucial).
Oublier que les vecteurs n'ont pas de position fixe : ils représentent un déplacement. Deux vecteurs sont égaux s'ils représentent le même déplacement, quelle que soit leur origine.
Erreur de signe dans le calcul des coordonnées d'un vecteur : $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A\,; y_B-y_A)$, et non $(x_A-x_B\,; y_A-y_B)$.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $E(-3\,;1)$, $F(2\,;4)$ et $G(0\,;-2)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$.
Déterminer les coordonnées du point $H$ tel que $EFHG$ soit un parallélogramme.
Vérifier votre résultat en calculant les coordonnées des milieux des diagonales de $EFHG$.

Pour calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{EF}$ :
$\overrightarrow{EF}(x_F-x_E\,; y_F-y_E)$
$\overrightarrow{EF}(2-(-3)\,; 4-1)$
$\overrightarrow{EF}(2+3\,; 3)$
$\overrightarrow{EF}(5\,;3)$.
Pour que $EFHG$ soit un parallélogramme, il faut que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$.
On connaît les coordonnées de $\overrightarrow{EF}(5\,;3)$.
Soit $H(x_H\,;y_H)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{GH}$ sont $(x_H-x_G\,; y_H-y_G)$.
$\overrightarrow{GH}(x_H-0\,; y_H-(-2))$
$\overrightarrow{GH}(x_H\,; y_H+2)$.
L'égalité $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$ se traduit par le système :
$\begin{cases} 5 = x_H \\ 3 = y_H + 2 \end{cases}$
On résout le système :
$\begin{cases} x_H = 5 \\ y_H = 3 - 2 \end{cases}$
$\begin{cases} x_H = 5 \\ y_H = 1 \end{cases}$
Donc, les coordonnées du point $H$ sont $(5\,;1)$.
Vérifions avec les milieux des diagonales de $EFHG$. Les diagonales sont $[EH]$ et $[FG]$.
Milieu $M_{EH}$ de $[EH]$ :
$M_{EH}\left(\frac{x_E+x_H}{2}\,;\frac{y_E+y_H}{2}\right) = M_{EH}\left(\frac{-3+5}{2}\,;\frac{1+1}{2}\right) = M_{EH}\left(\frac{2}{2}\,;\frac{2}{2}\right) = M_{EH}(1\,;1)$.
Milieu $M_{FG}$ de $[FG]$ :
$M_{FG}\left(\frac{x_F+x_G}{2}\,;\frac{y_F+y_G}{2}\right) = M_{FG}\left(\frac{2+0}{2}\,;\frac{4+(-2)}{2}\right) = M_{FG}\left(\frac{2}{2}\,;\frac{2}{2}\right) = M_{FG}(1\,;1)$.
Les milieux des diagonales sont identiques, ce qui confirme que $EFHG$ est bien un parallélogramme et que les coordonnées de $H$ sont correctes.

Questions fréquentes

Pourquoi l'ordre des points est-il si important pour le parallélogramme ?

L'ordre des points dans l'égalité vectorielle $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ détermine la configuration du parallélogramme. Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, cela signifie que le segment $[AD]$ et le segment $[BC]$ sont les diagonales du parallélogramme $ABDC$. Si l'on avait $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, alors $ABCD$ serait un parallélogramme, avec $[AC]$ et $[BD]$ comme diagonales. L'ordre des lettres dans l'écriture du parallélogramme doit suivre le contour du quadrilatère.

Peut-on utiliser la relation de Chasles avec l'égalité de vecteurs ?

Oui, absolument. Par exemple, si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, on peut écrire $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \vec{0}$. En utilisant l'opposé d'un vecteur, $\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC}$, donc $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}$. On peut aussi écrire $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \vec{0}$. Si on insère un point $O$ quelconque, on a $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$.

Est-ce que l'égalité de deux vecteurs implique qu'ils sont colinéaires ?

Oui, si deux vecteurs sont égaux, ils ont la même direction, donc ils sont colinéaires. La colinéarité est une condition nécessaire mais non suffisante pour l'égalité. Des vecteurs colinéaires peuvent avoir des sens opposés ou des longueurs différentes, tandis que des vecteurs égaux doivent avoir la même direction, le même sens ET la même longueur.

Comment savoir si trois points sont alignés avec les vecteurs ?

Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. Cela signifie qu'il existe un nombre réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$. Si $k=1$, alors $C=B$. Si $k=0$, alors $C=A$. Si $k \neq 0$ et $k \neq 1$, alors $C$ est un point distinct sur la droite $(AB)$.

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