Définition
La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un vecteur noté $\vec{u} + \vec{v}$. Graphiquement, si $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{BC}$, alors la somme $\vec{u} + \vec{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{AC}$. Cette propriété est connue sous le nom de relation de Chasles. Pour tout point $A$, $B$, $C$ du plan, on a : $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
Méthode : Somme de vecteurs et relation de Chasles
Identifier les vecteurs
Repérer les vecteurs à additionner. S'ils sont définis par des points, par exemple $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, il faut parfois les 'mettre bout à bout' pour appliquer la relation de Chasles.
Appliquer la relation de Chasles
Si le point d'arrivée du premier vecteur est le point de départ du second, par exemple $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$, alors la somme est le vecteur reliant le point de départ du premier au point d'arrivée du second : $\overrightarrow{AC}$.
Utiliser l'opposé d'un vecteur
Si les vecteurs ne sont pas 'bout à bout', on peut utiliser la propriété $\overrightarrow{BA} = - \overrightarrow{AB}$. Par exemple, $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
Simplifier l'expression
Après application de la relation de Chasles ou de l'opposé, simplifier l'expression vectorielle obtenue au maximum.
Exemple résolu
Erreurs courantes avec la relation de Chasles
- Confondre $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ avec $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA}$ : la relation de Chasles s'applique quand le point d'arrivée du premier vecteur est le point de départ du second.
- Oublier que $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}$ n'est pas directement une somme. Il faut le transformer en $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}$ avant d'essayer d'appliquer Chasles.
- Penser que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}$ peut être simplifié si $B \neq C$ et $A \neq D$. La relation de Chasles ne s'applique pas directement dans ce cas.
- Oublier de réordonner les vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative : $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$. Il faut en profiter pour placer les vecteurs « bout à bout ».
Exercice type contrôle
Soit $M$, $N$, $P$, $Q$ quatre points du plan.- Simplifier l'expression vectorielle $\vec{V}_1 = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}$.
- Simplifier l'expression vectorielle $\vec{V}_2 = \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QP}$.
- Démontrer que $\overrightarrow{MP} - \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MN}$.
- Pour $\vec{V}_1 = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}$ :
On observe que le point d'arrivée du premier vecteur ($N$) est le point de départ du second vecteur ($N$). On peut donc appliquer directement la relation de Chasles :
$$\vec{V}_1 = \overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$$
L'expression simplifiée est $\overrightarrow{MP}$. - Pour $\vec{V}_2 = \overrightarrow{MQ} + \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QP}$ :
On peut réordonner les termes pour appliquer la relation de Chasles :
$$\vec{V}_2 = \overrightarrow{MQ} + (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QP})$$
On applique la relation de Chasles aux deux derniers vecteurs : $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{PP}$.
Le vecteur $\overrightarrow{PP}$ est le vecteur nul, noté $\vec{0}$.
Donc, l'expression devient :
$$\vec{V}_2 = \overrightarrow{MQ} + \vec{0} = \overrightarrow{MQ}$$
L'expression simplifiée est $\overrightarrow{MQ}$. - Pour démontrer que $\overrightarrow{MP} - \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MN}$ :
On commence par transformer la soustraction en addition en utilisant l'opposé d'un vecteur : $\overrightarrow{NP} = - \overrightarrow{PN}$.
Donc, $\overrightarrow{MP} - \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN}$.
On applique ensuite la relation de Chasles : le point d'arrivée du premier vecteur ($P$) est le point de départ du second vecteur ($P$).
$$\overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MN}$$
Ainsi, nous avons bien démontré que $\overrightarrow{MP} - \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MN}$.
Questions fréquentes
La relation de Chasles fonctionne-t-elle avec plus de deux vecteurs ?
Que se passe-t-il si les points ne sont pas alignés ?
Peut-on additionner des vecteurs qui ne sont pas 'bout à bout' ?
Quelle est la différence entre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BA}$ ?
Pour aller plus loin
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