Géométrie et vecteurs · Fiche N°21 / 80

Vecteur et translation

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur (ou norme). Il est souvent représenté par une flèche. Si $A$ et $B$ sont deux points distincts, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour origine $A$ et pour extrémité $B$. Sa direction est celle de la droite $(AB)$, son sens est de $A$ vers $B$, et sa longueur est la distance $AB$.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même longueur. Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, alors le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Une translation est une transformation géométrique qui "glisse" tous les points du plan d'une même manière. Elle est définie par un vecteur $\vec{u}$. L'image d'un point $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ est le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$.

AA'BB'CC'u
La translation de vecteur u envoie A, B, C sur A', B', C' : AA' = BB' = CC' = u.
Bon réflexe : Quand tu manipules des vecteurs, pense toujours à la "flèche" et au "déplacement" qu'elle représente. Les coordonnées sont juste une façon de décrire ce déplacement.

Méthode : Vecteur et translation

1

Représenter un vecteur

Pour représenter le vecteur $\overrightarrow{AB}$, on trace une flèche de $A$ vers $B$. Pour un vecteur $\vec{u}$ donné par ses coordonnées $(x\,;y)$, on peut choisir n'importe quel point $M$ comme origine et construire le point $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ en déplaçant $M$ de $x$ unités horizontalement et $y$ unités verticalement.

2

Calculer les coordonnées d'un vecteur

Si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ sont deux points, les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$. On soustrait les coordonnées de l'origine à celles de l'extrémité.

3

Vérifier l'égalité de deux vecteurs

Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales : $x = x'$ et $y = y'$.
Géométriquement, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.

4

Déterminer l'image d'un point par translation

Si $M(x_M\,;y_M)$ est un point et $\vec{u}(x_u\,;y_u)$ est le vecteur de translation, l'image $M'(x_{M'}\,;y_{M'})$ est telle que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$. Donc $x_{M'} - x_M = x_u$ et $y_{M'} - y_M = y_u$. On en déduit $x_{M'} = x_M + x_u$ et $y_{M'} = y_M + y_u$.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j})$, on donne les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;3)$ et $C(2\,;-1)$.
1
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Les coordonnées de $A$ sont $(1\,;2)$ et celles de $B$ sont $(4\,;3)$.
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$
$\overrightarrow{AB}(4 - 1\,; 3 - 2)$
$\overrightarrow{AB}(3\,;1)$
2
Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.
On a $\overrightarrow{AB}(3\,;1)$. Soit $D(x_D\,;y_D)$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $(x_D - x_C\,; y_D - y_C)$.
$\overrightarrow{CD}(x_D - 2\,; y_D - (-1))$
$\overrightarrow{CD}(x_D - 2\,; y_D + 1)$
Pour que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, il faut que leurs coordonnées soient égales :
$3 = x_D - 2 \implies x_D = 3 + 2 = 5$
$1 = y_D + 1 \implies y_D = 1 - 1 = 0$
Donc $D(5\,;0)$.
3
Vérifier que $ABDC$ est un parallélogramme.
Puisque $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. (Attention à l'ordre des lettres : $A \to B$ et $C \to D$ sont les côtés parallèles et de même longueur, donc $A, B, D, C$ sont les sommets dans l'ordre du parallélogramme.)
4
Déterminer l'image $A'$ du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
D'abord, calculons les coordonnées de $\overrightarrow{BC}$.
$B(4\,;3)$ et $C(2\,;-1)$.
$\overrightarrow{BC}(x_C - x_B\,; y_C - y_B)$
$\overrightarrow{BC}(2 - 4\,; -1 - 3)$
$\overrightarrow{BC}(-2\,;-4)$
Soit $A'(x_{A'}\,;y_{A'})$ l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.
Alors $\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BC}$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{AA'}$ sont $(x_{A'} - x_A\,; y_{A'} - y_A)$.
$(x_{A'} - 1\,; y_{A'} - 2)$
Donc :
$x_{A'} - 1 = -2 \implies x_{A'} = -2 + 1 = -1$
$y_{A'} - 2 = -4 \implies y_{A'} = -4 + 2 = -2$
L'image $A'$ a pour coordonnées $(-1\,;-2)$.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $(3\,;1)$. Le point $D$ a pour coordonnées $(5\,;0)$. Le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme. L'image $A'$ du point $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ est $A'(-1\,;-2)$.

Confondre l'ordre des points dans un vecteur ou un parallélogramme

  1. Lors du calcul des coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{AB}$, ne pas faire $x_A - x_B$ mais toujours $x_B - x_A$ (extrémité moins origine).
  2. Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, le parallélogramme est $ABDC$ et non $ABCD$. L'ordre des points est crucial pour définir les côtés parallèles.
  3. Ne pas confondre les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur. Un point est une position, un vecteur est un déplacement.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $E(-3\,;1)$, $F(1\,;4)$ et $G(0\,;-2)$.
  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$.
  2. Déterminer les coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme.
  3. Calculer les coordonnées du point $E'$, image du point $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$.
  1. Calcul des coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ :
    Pour $\overrightarrow{EF}$ : $E(-3\,;1)$ et $F(1\,;4)$.
    $\overrightarrow{EF}(x_F - x_E\,; y_F - y_E)$
    $\overrightarrow{EF}(1 - (-3)\,; 4 - 1)$
    $\overrightarrow{EF}(1 + 3\,; 3)$
    $\overrightarrow{EF}(4\,;3)$

    Pour $\overrightarrow{FG}$ : $F(1\,;4)$ et $G(0\,;-2)$.
    $\overrightarrow{FG}(x_G - x_F\,; y_G - y_F)$
    $\overrightarrow{FG}(0 - 1\,; -2 - 4)$
    $\overrightarrow{FG}(-1\,;-6)$
  2. Détermination des coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme :
    Pour que $EFGH$ soit un parallélogramme, il faut que $\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG}$.
    On connaît $\overrightarrow{EF}(4\,;3)$. Soit $H(x_H\,;y_H)$.
    Les coordonnées de $\overrightarrow{HG}$ sont $(x_G - x_H\,; y_G - y_H)$.
    $\overrightarrow{HG}(0 - x_H\,; -2 - y_H)$
    En égalant les coordonnées :
    $4 = 0 - x_H \implies x_H = -4$
    $3 = -2 - y_H \implies y_H = -2 - 3 = -5$
    Donc $H(-4\,;-5)$.
    Alternative : On peut aussi utiliser $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{FG}$.
    $\overrightarrow{FG}(-1\,;-6)$. Soit $H(x_H\,;y_H)$.
    Les coordonnées de $\overrightarrow{EH}$ sont $(x_H - x_E\,; y_H - y_E)$.
    $\overrightarrow{EH}(x_H - (-3)\,; y_H - 1)$
    $\overrightarrow{EH}(x_H + 3\,; y_H - 1)$
    En égalant les coordonnées :
    $x_H + 3 = -1 \implies x_H = -1 - 3 = -4$
    $y_H - 1 = -6 \implies y_H = -6 + 1 = -5$
    On retrouve bien $H(-4\,;-5)$.
  3. Calcul des coordonnées du point $E'$, image du point $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$ :
    Soit $E'(x_{E'}\,;y_{E'})$ l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$.
    Alors $\overrightarrow{EE'} = \overrightarrow{FG}$.
    On connaît $E(-3\,;1)$ et $\overrightarrow{FG}(-1\,;-6)$.
    Les coordonnées de $\overrightarrow{EE'}$ sont $(x_{E'} - x_E\,; y_{E'} - y_E)$.
    $(x_{E'} - (-3)\,; y_{E'} - 1)$
    $(x_{E'} + 3\,; y_{E'} - 1)$
    En égalant les coordonnées :
    $x_{E'} + 3 = -1 \implies x_{E'} = -1 - 3 = -4$
    $y_{E'} - 1 = -6 \implies y_{E'} = -6 + 1 = -5$
    L'image $E'$ a pour coordonnées $(-4\,;-5)$.
    Remarque : On constate que $E'$ et $H$ sont le même point. C'est logique car si $EFGH$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{FG}$, ce qui signifie que $H$ est l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un segment et un vecteur ?
Un segment $[AB]$ est une portion de droite limitée par deux points $A$ et $B$. Il a une longueur mais pas de sens ni de direction orientée. Un vecteur $\overrightarrow{AB}$ est une flèche qui part de $A$ et va vers $B$. Il a une longueur (sa norme), une direction (celle de la droite $(AB)$) et un sens (de $A$ vers $B$). On peut déplacer un vecteur dans le plan sans changer ses propriétés, alors qu'un segment est fixe.
Peut-on additionner des vecteurs ?
Oui, l'addition de vecteurs est une opération fondamentale. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs, leur somme $\vec{u} + \vec{v}$ est un nouveau vecteur. Géométriquement, on peut utiliser la relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Avec les coordonnées, si $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$, alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x+x'\,; y+y')$. Cette notion est vue en Seconde.
Un vecteur peut-il avoir une longueur nulle ?
Oui, le vecteur nul, noté $\vec{0}$, a une longueur nulle. Ses coordonnées sont $(0\,;0)$. Il représente un déplacement qui ne change pas la position d'un point. Par exemple, $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
Est-ce que l'ordre des points dans un parallélogramme est important ?
Oui, absolument ! Si on dit que $ABCD$ est un parallélogramme, cela signifie que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (ou $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$). Les sommets sont cités dans l'ordre en tournant autour de la figure. Si on dit $ABDC$ est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ (ou $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD}$). Une erreur d'ordre peut mener à des calculs de coordonnées incorrects.

Pour aller plus loin

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