Équation cartésienne d'une droite – Fiche Maths Seconde

Q: Comment trouver un vecteur directeur à partir de l'équation ax + by + c = 0 ?

Si l'équation d'une droite est ax + by + c = 0, alors un vecteur directeur de cette droite est \vec{u}(-b\,;a). Par exemple, pour la droite d'équation 2x + y - 3 = 0, un vecteur directeur est \vec{u}(-1\,;2).

Q: Comment savoir si une droite est verticale ou horizontale à partir de son équation cartésienne ?

Si a=0, l'équation est de la forme by + c = 0, soit y = -\frac{c}{b} (si b \neq 0). C'est une droite horizontale. Si b=0, l'équation est de la forme ax + c = 0, soit x = -\frac{c}{a} (si a \neq 0). C'est une droite verticale.

Q: Peut-on utiliser la formule du coefficient directeur m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} ?

Oui, si la droite n'est pas verticale (c'est-à-dire si x_A \neq x_B). Une fois m calculé, l'équation est y = mx + p. On trouve p en remplaçant x et y par les coordonnées de l'un des points A ou B. Ensuite, on peut réécrire sous la forme mx - y + p = 0 pour obtenir une équation cartésienne.

Définition

Une équation cartésienne de droite est une équation de la forme $ax + by + c = 0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, avec $a$ et $b$ non tous les deux nuls. L'ensemble des points $M(x\,;y)$ dont les coordonnées vérifient cette équation forme une droite. Une droite admet une infinité d'équations cartésiennes.

La droite (AB) a pour équation cartésienne 2x + y − 3 = 0 ; AB(−3 ; 6) est un vecteur directeur.

Bon réflexe : Toujours vérifier que les points donnés satisfont l'équation cartésienne trouvée.

Méthode : Équation cartésienne d'une droite

À partir de deux points

Soient deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ distincts. Un point $M(x\,;y)$ appartient à la droite $(AB)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. On utilise la condition de colinéarité : $x_{\overrightarrow{AM}} y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\overrightarrow{AM}} x_{\overrightarrow{AB}} = 0$.

À partir d'un point et d'un vecteur directeur

Soit un point $A(x_A\,;y_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(x_{\vec{u}}\,;y_{\vec{u}})$ de la droite. Un point $M(x\,;y)$ appartient à la droite si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires. On applique la condition de colinéarité : $x_{\overrightarrow{AM}} y_{\vec{u}} - y_{\overrightarrow{AM}} x_{\vec{u}} = 0$.
Alternativement, si $\vec{u}(a\,;b)$ est un vecteur directeur, alors l'équation de la droite est de la forme $-bx + ay + c = 0$ (ou $bx - ay + c' = 0$). On détermine $c$ (ou $c'$) en utilisant les coordonnées d'un point connu de la droite.

À partir d'un point et d'un coefficient directeur (pente)

Si la droite n'est pas verticale, son équation est de la forme $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur. Si un point $A(x_A\,;y_A)$ appartient à la droite, alors $y_A = mx_A + p$, ce qui permet de trouver $p$. On peut ensuite réécrire l'équation sous la forme $mx - y + p = 0$.

Exemple résolu

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ passant par les points $A(2\,;-1)$ et $B(-1\,;5)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

$$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,; y_B - y_A) = (-1 - 2\,; 5 - (-1)) = (-3\,; 6)$$

Prendre un point $M(x\,;y)$ quelconque sur la droite et calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AM}$.

$$\overrightarrow{AM} = (x - x_A\,; y - y_A) = (x - 2\,; y - (-1)) = (x - 2\,; y + 1)$$

Appliquer la condition de colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires si et seulement si $x_{\overrightarrow{AM}} y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\overrightarrow{AM}} x_{\overrightarrow{AB}} = 0$.
$$(x - 2) × 6 - (y + 1) × (-3) = 0$$

Développer et simplifier l'équation.

$$6x - 12 - (-3y - 3) = 0$$$$6x - 12 + 3y + 3 = 0$$$$6x + 3y - 9 = 0$$

Simplifier l'équation si possible (en divisant par un facteur commun).

On peut diviser tous les termes par 3 :$$2x + y - 3 = 0$$

Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x + y - 3 = 0$.

Confondre vecteur directeur et vecteur normal

Un vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b)$ donne une équation de la forme $-bx + ay + c = 0$.
Un vecteur normal $\vec{n}(a\,;b)$ (perpendiculaire à la droite) donne une équation de la forme $ax + by + c = 0$. Cette notion est souvent vue en Première.
Ne pas vérifier si les points donnés appartiennent bien à l'équation trouvée. C'est une bonne manière de vérifier son résultat.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1\,;4)$ et $B(3\,;-2)$.

Déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
En déduire une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
Le point $C(-2\,;10)$ appartient-il à la droite $(AB)$ ? Justifier votre réponse.

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est le vecteur $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A\,; y_B - y_A) = (3 - 1\,; -2 - 4) = (2\,; -6)$.
Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vec{u}(2\,;-6)$.
Soit $M(x\,;y)$ un point de la droite $(AB)$. Les vecteurs $\overrightarrow{AM}(x-1\,;y-4)$ et $\overrightarrow{AB}(2\,;-6)$ sont colinéaires.
La condition de colinéarité est $x_{\overrightarrow{AM}} y_{\overrightarrow{AB}} - y_{\overrightarrow{AM}} x_{\overrightarrow{AB}} = 0$.
$(x-1) × (-6) - (y-4) × 2 = 0$
$-6x + 6 - 2y + 8 = 0$
$-6x - 2y + 14 = 0$
On peut diviser par $-2$ pour simplifier : $3x + y - 7 = 0$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $3x + y - 7 = 0$.
Pour vérifier si le point $C(-2\,;10)$ appartient à la droite $(AB)$, on substitue ses coordonnées dans l'équation de la droite.
$3x_C + y_C - 7 = 3 × (-2) + 10 - 7 = -6 + 10 - 7 = 4 - 7 = -3$.
Puisque $-3 \neq 0$, le point $C$ n'appartient pas à la droite $(AB)$.

Questions fréquentes

Est-ce que $ax + by + c = 0$ est la seule forme possible ?

Oui, c'est la forme générale d'une équation cartésienne. On peut aussi trouver la forme réduite $y = mx + p$ pour les droites non verticales. Toute équation cartésienne peut être transformée en une autre en multipliant tous les termes par un même nombre non nul. Par exemple, $2x + y - 3 = 0$ et $4x + 2y - 6 = 0$ représentent la même droite.

Comment trouver un vecteur directeur à partir de l'équation $ax + by + c = 0$ ?

Si l'équation d'une droite est $ax + by + c = 0$, alors un vecteur directeur de cette droite est $\vec{u}(-b\,;a)$. Par exemple, pour la droite d'équation $2x + y - 3 = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-1\,;2)$.

Comment savoir si une droite est verticale ou horizontale à partir de son équation cartésienne ?

Si $a=0$, l'équation est de la forme $by + c = 0$, soit $y = -\frac{c}{b}$ (si $b \neq 0$). C'est une droite horizontale. Si $b=0$, l'équation est de la forme $ax + c = 0$, soit $x = -\frac{c}{a}$ (si $a \neq 0$). C'est une droite verticale.

Peut-on utiliser la formule du coefficient directeur $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ ?

Oui, si la droite n'est pas verticale (c'est-à-dire si $x_A \neq x_B$). Une fois $m$ calculé, l'équation est $y = mx + p$. On trouve $p$ en remplaçant $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des points $A$ ou $B$. Ensuite, on peut réécrire sous la forme $mx - y + p = 0$ pour obtenir une équation cartésienne.

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