Géométrie et vecteurs · Fiche N°24 / 80

Produit d'un vecteur par un réel

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Soit $\vec{u}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le réel $k$, noté $k\vec{u}$, est un nouveau vecteur défini comme suit :

  • Si $k \gt 0$, $k\vec{u}$ a la même direction et le même sens que $\vec{u}$, et sa longueur est $k$ fois celle de $\vec{u}$.
  • Si $k \lt 0$, $k\vec{u}$ a la même direction que $\vec{u}$, le sens opposé à $\vec{u}$, et sa longueur est $|k|$ fois celle de $\vec{u}$.
  • Si $k = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$, alors $k\vec{u} = \vec{0}$ (le vecteur nul).

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$). Géométriquement, cela signifie que les vecteurs ont la même direction.

u2u−1,5u
2u a la même direction et le même sens que u, deux fois plus long ; −1,5u est de sens contraire.
Bon réflexe : Pour démontrer l'alignement ou le parallélisme, pense toujours à la colinéarité des vecteurs.

Méthode : Produit d'un vecteur par un réel

1

Calculer les coordonnées d'un produit

Si un vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x\,;y)$, alors le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx\,;ky)$. C'est-à-dire, si $\vec{u}(x\,;y)$, alors $k\vec{u}(kx\,;ky)$.

2

Démontrer la colinéarité de deux vecteurs

Pour montrer que deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires, on peut :

  1. Chercher un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Cela revient à résoudre le système $x' = kx$ et $y' = ky$. Si un tel $k$ existe, les vecteurs sont colinéaires.
  2. Utiliser la condition de colinéarité par le déterminant : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$.

3

Démontrer l'alignement de trois points

Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires. On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ puis on applique une des méthodes de colinéarité.

4

Démontrer le parallélisme de deux droites

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ puis on applique une des méthodes de colinéarité.

Exemple résolu

Dans un repère orthonormé, on donne les points A$(1\,;2)$, B$(4\,;3)$, C$(7\,;4)$ et D$(2\,;5)$.
1
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$.
$\overrightarrow{AB}(4-1\,; 3-2)$, donc $\overrightarrow{AB}(3\,;1)$.
2
Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{CD}$.
Les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$ sont $(x_D - x_C\,; y_D - y_C)$.
$\overrightarrow{CD}(2-7\,; 5-4)$, donc $\overrightarrow{CD}(-5\,;1)$.
3
Calculer les coordonnées du vecteur $2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CD}$.
On a $\overrightarrow{AB}(3\,;1)$ et $\overrightarrow{CD}(-5\,;1)$.
$2\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(2×3\,; 2×1)$, soit $(6\,;2)$.
$3\overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées $(3×(-5)\,; 3×1)$, soit $(-15\,;3)$.
Le vecteur $2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CD}$ a pour coordonnées $(6 - (-15)\,; 2 - 3)$, soit $(6+15\,; -1)$, donc $(21\,;-1)$.
4
Déterminer si les points A, B et C sont alignés.
Pour cela, on vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
On a $\overrightarrow{AB}(3\,;1)$.
Calculons les coordonnées de $\overrightarrow{AC}$: $(x_C - x_A\,; y_C - y_A)$, soit $(7-1\,; 4-2)$, donc $\overrightarrow{AC}(6\,;2)$.
Vérifions la condition de colinéarité $xy' - yx' = 0$ pour $\overrightarrow{AB}(3\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;2)$.
$3×2 - 1×6 = 6 - 6 = 0$.
Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, donc les points A, B et C sont alignés. De plus, on remarque que $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$.

Confondre colinéarité et égalité

  1. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction, mais pas nécessairement le même sens ni la même longueur. Ils ne sont égaux que s'ils ont en plus le même sens et la même longueur.
  2. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$. Si $k=1$, alors $\vec{u}=\vec{v}$. Si $k=-1$, alors $\vec{v}=-\vec{u}$ (ils ont même longueur, même direction, mais sens opposé).
  3. Pour l'alignement de A, B, C, il faut que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (ou $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$, etc.) soient colinéaires. Ne pas prendre $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ par exemple, car cela ne garantit pas l'alignement des trois points.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on considère les points E$(-2\,;1)$, F$(1\,;3)$ et G$(7\,;7)$.
  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$.
  2. Les points E, F et G sont-ils alignés ? Justifier votre réponse.
  3. Soit H un point tel que $\overrightarrow{EH} = 3\overrightarrow{EF}$. Calculer les coordonnées du point H.
  1. Calcul des coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ :
    $\overrightarrow{EF}(x_F - x_E\,; y_F - y_E) = (1 - (-2)\,; 3 - 1) = (1+2\,; 2) = (3\,;2)$.
    $\overrightarrow{FG}(x_G - x_F\,; y_G - y_F) = (7 - 1\,; 7 - 3) = (6\,;4)$.
  2. Pour savoir si les points E, F et G sont alignés, on vérifie si les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont colinéaires.
    On utilise la condition de colinéarité $xy' - yx' = 0$ pour $\overrightarrow{EF}(3\,;2)$ et $\overrightarrow{FG}(6\,;4)$.
    $3×4 - 2×6 = 12 - 12 = 0$.
    Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{FG}$ sont colinéaires. Par conséquent, les points E, F et G sont alignés.
  3. Calcul des coordonnées du point H tel que $\overrightarrow{EH} = 3\overrightarrow{EF}$ :
    Soit H$(x_H\,;y_H)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{EH}$ sont $(x_H - x_E\,; y_H - y_E) = (x_H - (-2)\,; y_H - 1) = (x_H+2\,; y_H-1)$.
    Les coordonnées de $3\overrightarrow{EF}$ sont $(3×3\,; 3×2) = (9\,;6)$.
    Puisque $\overrightarrow{EH} = 3\overrightarrow{EF}$, on a l'égalité des coordonnées :
    $x_H+2 = 9 \implies x_H = 9 - 2 = 7$.
    $y_H-1 = 6 \implies y_H = 6 + 1 = 7$.
    Les coordonnées du point H sont $(7\,;7)$. On remarque que H est le point G.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le vecteur nul ?
Le vecteur nul, noté $\vec{0}$, est un vecteur dont la longueur est nulle. Il n'a pas de direction ni de sens défini. Ses coordonnées sont $(0\,;0)$ dans n'importe quel repère. Il est le résultat du produit d'un vecteur par le réel $0$, ou du produit du réel $k$ par le vecteur nul.
Comment savoir si deux vecteurs ont le même sens ?
Si $\vec{v} = k\vec{u}$ et que $k \gt 0$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même direction et le même sens. Si $k \lt 0$, ils ont la même direction mais des sens opposés.
Pourquoi la colinéarité est-elle si importante ?
La colinéarité est fondamentale car elle permet de traduire des propriétés géométriques (alignement de points, parallélisme de droites) en termes de calculs vectoriels. C'est un outil puissant pour résoudre des problèmes de géométrie analytique sans avoir à faire de figures précises.
Est-ce que le déterminant $xy' - yx'$ est au programme de Seconde ?
Oui, la condition de colinéarité $xy' - yx' = 0$ (parfois appelée 'produit en croix' ou 'déterminant') est explicitement au programme de Seconde. C'est une méthode efficace pour prouver la colinéarité de deux vecteurs.

Pour aller plus loin

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