Géométrie et vecteurs · Fiche N°25 / 80

Vecteurs colinéaires

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls sont dits colinéaires si et seulement s'il existe un nombre réel $k$ tel que $\vec{v} = k \vec{u}$.
Graphiquement, cela signifie que les vecteurs ont la même direction. Leurs représentations peuvent être placées sur des droites parallèles ou confondues.
Si l'un des vecteurs est le vecteur nul ($\vec{0}$), alors il est colinéaire à tout autre vecteur.

uv = 2uw = −u
u, v = 2u et w = −u sont colinéaires : ils ont la même direction.
Bon réflexe : Pour vérifier la colinéarité, calcule toujours le déterminant : $xy' - yx'$. Si c'est $0$, ils sont colinéaires !

Méthode : Vecteurs colinéaires

1

Calculer les coordonnées

Si les vecteurs sont définis par des points, calculer leurs coordonnées. Pour $\overrightarrow{AB}$, si $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$, alors $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,; y_B - y_A)$. Pour $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$.

2

Vérifier la proportionnalité

Deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. C'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $x' = kx$ et $y' = ky$.

3

Utiliser le déterminant

Une méthode équivalente et souvent plus rapide est d'utiliser le déterminant. Les vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul : $det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - yx' = 0$.

4

Interpréter le résultat

Si le déterminant est nul (ou si les coordonnées sont proportionnelles), les vecteurs sont colinéaires. Sinon, ils ne le sont pas.

Exemple résolu

Soient les points $A(1\,;2)$, $B(4\,;8)$, $C(-2\,;1)$ et $D(0\,;5)$ dans un repère orthonormé. Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ?
1
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$
$A(1\,;2)$ et $B(4\,;8)$.
$\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,; y_B - y_A) = \overrightarrow{AB}(4 - 1\,; 8 - 2) = \overrightarrow{AB}(3\,;6)$.
2
Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{CD}$
$C(-2\,;1)$ et $D(0\,;5)$.
$\overrightarrow{CD}(x_D - x_C\,; y_D - y_C) = \overrightarrow{CD}(0 - (-2)\,; 5 - 1) = \overrightarrow{CD}(2\,;4)$.
3
Calculer le déterminant des deux vecteurs
Soient $\vec{u}(3\,;6)$ et $\vec{v}(2\,;4)$.
$det(\vec{u}, \vec{v}) = (3 \times 4) - (6 \times 2) = 12 - 12 = 0$.
Le déterminant est égal à $0$. Donc, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Confondre colinéarité et égalité

  1. Des vecteurs colinéaires n'ont pas forcément la même longueur ni le même sens. Ils ont seulement la même direction.
  2. Oublier de vérifier le cas où l'un des vecteurs est le vecteur nul. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
  3. Erreur de signe dans le calcul du déterminant : $xy' - yx'$ et non $xy' + yx'$.

Exercice type contrôle

Dans un repère orthonormé, on donne les points $E(1\,;-3)$, $F(5\,;1)$, $G(-1\,;2)$ et $H(2\,;5)$.

  1. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$.
  2. Les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ sont-ils colinéaires ? Justifier par un calcul.
  3. Que peut-on en déduire pour les droites $(EF)$ et $(GH)$ ?
  1. Calcul des coordonnées des vecteurs :
    Pour $\overrightarrow{EF}$ : $E(1\,;-3)$ et $F(5\,;1)$.
    $\overrightarrow{EF}(x_F - x_E\,; y_F - y_E) = \overrightarrow{EF}(5 - 1\,; 1 - (-3)) = \overrightarrow{EF}(4\,;4)$.

    Pour $\overrightarrow{GH}$ : $G(-1\,;2)$ et $H(2\,;5)$.
    $\overrightarrow{GH}(x_H - x_G\,; y_H - y_G) = \overrightarrow{GH}(2 - (-1)\,; 5 - 2) = \overrightarrow{GH}(3\,;3)$.
  2. Vérification de la colinéarité :
    On utilise le déterminant des vecteurs $\overrightarrow{EF}(4\,;4)$ et $\overrightarrow{GH}(3\,;3)$.
    $det(\overrightarrow{EF}, \overrightarrow{GH}) = (4 \times 3) - (4 \times 3) = 12 - 12 = 0$.
    Puisque le déterminant est nul, les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ sont colinéaires.
  3. Déduction pour les droites :
    Comme les vecteurs $\overrightarrow{EF}$ et $\overrightarrow{GH}$ sont colinéaires, cela signifie que les droites $(EF)$ et $(GH)$ sont parallèles.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le déterminant de deux vecteurs ?
Le déterminant de deux vecteurs $\vec{u}(x\,;y)$ et $\vec{v}(x'\,;y')$ est le nombre $xy' - yx'$. Il permet de savoir si les vecteurs sont colinéaires : si le déterminant est nul, ils sont colinéaires ; sinon, ils ne le sont pas.
Si deux vecteurs sont colinéaires, sont-ils forcément égaux ?
Non, pas du tout. Des vecteurs colinéaires ont la même direction, mais ils peuvent avoir des longueurs différentes et/ou des sens opposés. Par exemple, $\vec{u}(1\,;1)$ et $\vec{v}(2\,;2)$ sont colinéaires car $\vec{v} = 2\vec{u}$, mais ils ne sont pas égaux.
Comment savoir si trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés en utilisant les vecteurs ?
Trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (ou $\overrightarrow{BC}$) sont colinéaires. Il suffit de calculer leurs coordonnées et de vérifier si leur déterminant est nul.
La colinéarité est-elle liée au parallélisme ?
Oui, absolument. Si deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, cela signifie que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. Réciproquement, si deux droites sont parallèles, alors tout vecteur directeur de l'une est colinéaire à tout vecteur directeur de l'autre.

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