Définition
Soit une droite $(d)$ et un point $M$ n'appartenant pas à $(d)$. Le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(d)$ est le point $H$ de la droite $(d)$ tel que la droite $(MH)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$. Si $M$ appartient à $(d)$, alors son projeté orthogonal sur $(d)$ est $M$ lui-même.
Bon réflexe : Pense toujours à la condition de perpendicularité : le produit des pentes des deux droites doit être $-1$ (sauf si l'une est verticale).
Méthode : Projeté orthogonal d'un point sur une droite
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Identifier la droite et le point
On dispose d'une droite $(d)$ et d'un point $M$ dont on cherche le projeté orthogonal.
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Tracer la perpendiculaire
À partir du point $M$, tracer la droite $(d')$ qui est perpendiculaire à la droite $(d)$.
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Déterminer le point d'intersection
Le point $H$ est l'intersection de la droite $(d)$ et de la droite $(d')$. Ce point $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$.
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Propriété du projeté
La distance $MH$ est la plus courte distance entre le point $M$ et la droite $(d)$. Pour tout autre point $P$ de $(d)$ distinct de $H$, on a $MP \gt MH$.
Exemple résolu
Soit un repère orthonormé $(O\,;\vec{i}\,;\vec{j})$. On considère le point $A(3\,;4)$ et la droite $(d)$ d'équation $y = 2x - 1$. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $(d)$.
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Déterminer la pente de la droite $(d)$
L'équation de la droite $(d)$ est $y = 2x - 1$. Sa pente est $m_d = 2$.
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Déterminer la pente de la droite $(AH)$
La droite $(AH)$ est perpendiculaire à $(d)$. Le produit de leurs pentes doit être égal à $-1$. Soit $m_{AH}$ la pente de $(AH)$. Alors $m_d × m_{AH} = -1$, donc $2 × m_{AH} = -1$, ce qui donne $m_{AH} = -\frac{1}{2}$. (Propriété admise en Seconde : dans un repère orthonormé, deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut $-1$.)
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Déterminer l'équation de la droite $(AH)$
La droite $(AH)$ a pour pente $m_{AH} = -\frac{1}{2}$ et passe par $A(3\,;4)$. Son équation est de la forme $y = -\frac{1}{2}x + p$. En substituant les coordonnées de $A$: $4 = -\frac{1}{2} × 3 + p \implies 4 = -\frac{3}{2} + p \implies p = 4 + \frac{3}{2} = \frac{8}{2} + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$. L'équation de $(AH)$ est $y = -\frac{1}{2}x + \frac{11}{2}$.
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Déterminer les coordonnées de $H$
Le point $H$ est l'intersection de $(d)$ et $(AH)$. Ses coordonnées $(x_H\,;y_H)$ vérifient les deux équations : $y_H = 2x_H - 1$ et $y_H = -\frac{1}{2}x_H + \frac{11}{2}$. On résout le système : $2x_H - 1 = -\frac{1}{2}x_H + \frac{11}{2}$. Multiplions par $2$ pour éliminer les dénominateurs : $4x_H - 2 = -x_H + 11 \implies 5x_H = 13 \implies x_H = \frac{13}{5}$. On trouve $y_H = 2 × \frac{13}{5} - 1 = \frac{26}{5} - \frac{5}{5} = \frac{21}{5}$.
Les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur la droite $(d)$ sont $H\left(\frac{13}{5}\,;\frac{21}{5}\right)$.
Confondre projeté orthogonal et milieu
- Le projeté orthogonal $H$ n'est pas le milieu du segment joignant le point $M$ à un autre point de la droite, sauf cas très particulier.
- Ne pas vérifier la condition de perpendicularité : la droite $(MH)$ doit être perpendiculaire à $(d)$, et non pas seulement passer par $M$ et un point de $(d)$.
- Oublier que si le point $M$ est déjà sur la droite $(d)$, son projeté orthogonal est $M$ lui-même.
Exercice type contrôle
Dans un repère orthonormé, on considère le point $P(4\,;5)$ et la droite $(L)$ d'équation $y = -3x + 2$.
- Vérifier que $P$ n'appartient pas à $(L)$.
- Déterminer l'équation réduite de la droite $(PH)$ passant par $P$ et perpendiculaire à $(L)$.
- Calculer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $P$ sur $(L)$.
- $-3 × 4 + 2 = -10 \neq 5$, donc $P$ n'appartient pas à $(L)$.
- La pente de $(L)$ est $-3$. La droite $(PH)$ lui est perpendiculaire, donc sa pente $m$ vérifie $-3 × m = -1$, soit $m = \frac{1}{3}$. Elle passe par $P(4\,;5)$ : $5 = \frac{1}{3} × 4 + p$, donc $p = 5 - \frac{4}{3} = \frac{11}{3}$. L'équation de $(PH)$ est $y = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$.
- $H$ est l'intersection de $(L)$ et $(PH)$ : $-3x + 2 = \frac{1}{3}x + \frac{11}{3}$. En multipliant par $3$ : $-9x + 6 = x + 11$, donc $-10x = 5$ et $x = -\frac{1}{2}$. Puis $y = -3 × \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 = \frac{7}{2}$. Donc $H\left(-\frac{1}{2}\,;\frac{7}{2}\right)$.
Vérification : la pente de $(PH)$ est $\frac{\frac{7}{2} - 5}{-\frac{1}{2} - 4} = \frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{9}{2}} = \frac{1}{3}$.
Questions fréquentes
À quoi sert le projeté orthogonal ?
Le projeté orthogonal est utilisé pour calculer la distance la plus courte entre un point et une droite. Il est aussi fondamental en physique (décomposition de forces) et en géométrie pour des démonstrations de perpendicularité ou de distances minimales.
Est-ce que le projeté orthogonal est toujours unique ?
Oui, le projeté orthogonal d'un point sur une droite est toujours unique. Il n'y a qu'une seule droite passant par un point donné et perpendiculaire à une droite donnée, et donc un seul point d'intersection.
Comment faire si la droite est verticale ou horizontale ?
Si la droite $(d)$ est horizontale (équation $y=k$), le projeté $H$ aura la même abscisse que $M$ et son ordonnée sera $k$. Si $(d)$ est verticale (équation $x=k$), le projeté $H$ aura la même ordonnée que $M$ et son abscisse sera $k$.
Peut-on utiliser les vecteurs pour trouver le projeté orthogonal ?
Oui. En Seconde, on peut s'appuyer sur un vecteur directeur $\vec{u}$ de $(d)$ : $H$ est le point de $(d)$ tel que $(MH)$ soit perpendiculaire à $\vec{u}$, ce qui se vérifie avec le théorème de Pythagore. En Première, le produit scalaire donnera une méthode de calcul plus directe.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.