Nombres et calculs · Fiche N°20 / 80

Encadrement, arrondi et valeur approchée

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Un encadrement d'un nombre $x$ est une inégalité de la forme $a \leq x \leq b$, où $a$ est la borne inférieure et $b$ est la borne supérieure. L'amplitude de cet encadrement est $b-a$.
Une valeur approchée de $x$ est un nombre proche de $x$. On distingue la valeur approchée par défaut (inférieure ou égale à $x$) et la valeur approchée par excès (supérieure ou égale à $x$).
L'arrondi d'un nombre à une certaine précision est la valeur approchée la plus proche de ce nombre à cette précision.

Bon réflexe : Toujours vérifier la précision demandée (dixième, centième, millième...) et le type de valeur attendue (encadrement, valeur approchée par défaut/excès, arrondi).

Méthode : Encadrement, arrondi et valeur approchée

1

Déterminer un encadrement

Pour encadrer un nombre $x$ à une précision donnée (par exemple, au centième), on cherche deux nombres $a$ et $b$ tels que $a \leq x \leq b$ et $b-a$ soit égal à la précision souhaitée. On peut utiliser une calculatrice pour obtenir une valeur décimale de $x$.

2

Trouver une valeur approchée par défaut

La valeur approchée par défaut de $x$ à une précision donnée (par exemple, au dixième) est le plus grand nombre décimal de cette précision qui est inférieur ou égal à $x$. Pour un nombre positif, on tronque simplement le nombre à la décimale voulue.

3

Trouver une valeur approchée par excès

La valeur approchée par excès de $x$ à une précision donnée est le plus petit nombre décimal de cette précision qui est supérieur ou égal à $x$. On prend la valeur approchée par défaut et on lui ajoute la précision (par exemple $0{,}1$ pour une précision au dixième).

4

Calculer un arrondi

Pour arrondir un nombre $x$ à une précision donnée (par exemple, au millième) :

  • On regarde le chiffre suivant la précision demandée.
  • Si ce chiffre est $0, 1, 2, 3$ ou $4$, l'arrondi est la valeur approchée par défaut.
  • Si ce chiffre est $5, 6, 7, 8$ ou $9$, l'arrondi est la valeur approchée par excès.
Pour un nombre négatif, on arrondit sa valeur absolue puis on remet le signe : l'arrondi de $-2{,}78$ au dixième est $-2{,}8$.

Exemple résolu

Soit le nombre $A = \frac{10}{3}$. Donner un encadrement, des valeurs approchées et l'arrondi de $A$ à différentes précisions.
1
Calculer la valeur décimale de $A$
À l'aide d'une calculatrice, on trouve $A = \frac{10}{3} = 3{,}333333...$
2
Donner un encadrement de $A$ à $10^{-2}$ près
La précision $10^{-2}$ signifie au centième. On cherche $a \leq A \leq b$ avec $b-a = 0{,}01$.
On a $3{,}33 \leq \frac{10}{3} \leq 3{,}34$. L'amplitude est $3{,}34 - 3{,}33 = 0{,}01$.
3
Donner la valeur approchée par défaut de $A$ au dixième
Au dixième, on garde un chiffre après la virgule. On tronque $3{,}333...$ à la première décimale : $3{,}3$.
Donc, la valeur approchée par défaut de $A$ au dixième est $3{,}3$.
4
Donner la valeur approchée par excès de $A$ au dixième
On prend la valeur approchée par défaut au dixième ($3{,}3$) et on ajoute $0{,}1$ : $3{,}3 + 0{,}1 = 3{,}4$.
Donc, la valeur approchée par excès de $A$ au dixième est $3{,}4$.
5
Donner l'arrondi de $A$ au centième
Au centième, on regarde le troisième chiffre après la virgule. Pour $A = 3{,}33\underline{3}33...$, le troisième chiffre est $3$.
Puisque $3 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, l'arrondi est la valeur approchée par défaut au centième.
La valeur approchée par défaut au centième est $3{,}33$.
Donc, l'arrondi de $A$ au centième est $3{,}33$.
Pour $A = \frac{10}{3}$ :
– Encadrement à $10^{-2}$ près : $3{,}33 \leq \frac{10}{3} \leq 3{,}34$.
– Valeur approchée par défaut au dixième : $3{,}3$.
– Valeur approchée par excès au dixième : $3{,}4$.
– Arrondi au centième : $3{,}33$.

Confusion entre valeur approchée et arrondi

  1. Ne pas confondre la valeur approchée par défaut ou par excès avec l'arrondi. L'arrondi est une valeur approchée spécifique (la plus proche).
  2. Oublier de regarder le chiffre suivant la précision demandée pour l'arrondi. C'est ce chiffre qui détermine si on prend la valeur par défaut ou par excès.
  3. Erreur de calcul pour la valeur approchée par excès : il faut ajouter 1 à la dernière décimale de la valeur par défaut, pas simplement prendre le chiffre suivant.
  4. Ne pas respecter la précision demandée : un arrondi au dixième doit avoir un seul chiffre après la virgule, même si c'est un zéro (ex: $2{,}0$).

Exercice type contrôle

Soit le nombre $X = \sqrt{17}$.
  1. Donner un encadrement de $X$ à $10^{-3}$ près.
  2. Donner la valeur approchée par défaut de $X$ au centième.
  3. Donner l'arrondi de $X$ au dixième.
1. Pour $X = \sqrt{17}$, on utilise une calculatrice : $X \approx 4{,}1231056...$
Un encadrement à $10^{-3}$ près (au millième) signifie que l'amplitude doit être $0{,}001$.
On prend les trois premières décimales : $4{,}123$.
Donc, $4{,}123 \leq \sqrt{17} \leq 4{,}124$.

2. La valeur approchée par défaut de $X$ au centième signifie qu'on tronque le nombre après la deuxième décimale.
$X \approx 4{,}1231056...$
La valeur approchée par défaut au centième est $4{,}12$.

3. Pour l'arrondi de $X$ au dixième, on regarde le chiffre des centièmes.
$X \approx 4{,}1\underline{2}31056...$
Le chiffre des centièmes est $2$. Puisque $2 \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, l'arrondi est la valeur approchée par défaut au dixième.
La valeur approchée par défaut au dixième est $4{,}1$.
Donc, l'arrondi de $X$ au dixième est $4{,}1$.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre un encadrement et une valeur approchée ?
Un encadrement donne deux bornes ($a$ et $b$) entre lesquelles se trouve le nombre $x$ ($a \leq x \leq b$). Une valeur approchée est un seul nombre qui est 'proche' de $x$, soit par défaut (inférieur), soit par excès (supérieur).
Pourquoi l'arrondi est-il important ?
L'arrondi est la valeur approchée la plus pertinente car c'est celle qui est la plus proche du nombre réel. Il est souvent utilisé pour simplifier les résultats tout en conservant une bonne précision, notamment dans les sciences et l'ingénierie.
Comment savoir si je dois arrondir ou donner une valeur approchée ?
L'énoncé de l'exercice le précisera toujours. Si on demande 'donner une valeur approchée par défaut', on tronque. Si on demande 'arrondir', on applique la règle du 5. Si l'énoncé est vague ('donner une valeur approchée'), l'arrondi est généralement attendu.
Est-ce que $3{,}0$ est un arrondi au dixième ?
Oui, absolument. Si l'arrondi d'un nombre au dixième est $3$, il faut l'écrire $3{,}0$ pour montrer que la précision au dixième a été respectée. Par exemple, l'arrondi de $2{,}98$ au dixième est $3{,}0$.

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