Calculer avec des fractions – Fiche Maths Seconde

Définition

Une fraction est un nombre qui s'écrit sous la forme $\frac{a}{b}$, où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur. Le dénominateur $b$ doit être un nombre non nul. Les fractions représentent des divisions non effectuées ou des parties d'un tout. On peut simplifier une fraction en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre entier non nul.

Bon réflexe : Toujours simplifier les fractions dès que possible, et surtout avant les multiplications, pour faciliter les calculs.

Méthode : Calculer avec des fractions

Simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction $\frac{a}{b}$, on cherche un diviseur commun $k$ (non nul) au numérateur $a$ et au dénominateur $b$. On divise alors $a$ et $b$ par $k$: $$\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$$

Additionner ou soustraire des fractions

Pour additionner ou soustraire des fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. Si ce n'est pas le cas, on les réduit au même dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par un même nombre. Ensuite, on additionne ou soustrait les numérateurs et on garde le dénominateur commun : $$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \quad \text{et} \quad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$ Il est souvent judicieux de simplifier les fractions avant d'effectuer la multiplication.

Diviser des fractions

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$ (avec $c \neq 0$ et $d \neq 0$) : $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c}$$

Exemple résolu

Calculer l'expression $A = \left(\frac{2}{3} - \frac{1}{6}\right) \div \frac{5}{4}$ et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

Calculer l'intérieur de la parenthèse

On commence par la soustraction. Les fractions n'ont pas le même dénominateur. On réduit $\frac{2}{3}$ au dénominateur $6$ : $$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$$ On peut maintenant effectuer la soustraction : $$\frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6}$$ On simplifie cette fraction avant de continuer : $$\frac{3}{6} = \frac{3 \div 3}{6 \div 3} = \frac{1}{2}$$

Effectuer la division

L'expression devient $A = \frac{1}{2} \div \frac{5}{4}$. Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse. L'inverse de $\frac{5}{4}$ est $\frac{4}{5}$ : $$A = \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}$$

Effectuer la multiplication

On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $$A = \frac{1 \times 4}{2 \times 5} = \frac{4}{10}$$

Simplifier le résultat

La fraction $\frac{4}{10}$ peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par $2$ : $$A = \frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$$

Le résultat de l'expression $A$ est $\frac{2}{5}$.

Erreurs courantes avec les fractions

Additionner ou soustraire des fractions sans les avoir réduites au même dénominateur : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{1+1}{2+3} = \frac{2}{5}$.
Simplifier une fraction en divisant seulement le numérateur ou le dénominateur, ou en divisant par des termes non communs : $\frac{2+3}{2+5} \neq \frac{3}{5}$.
Confondre l'inverse d'une fraction avec son opposé : l'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$, son opposé est $-\frac{2}{3}$.
Oublier la priorité des opérations (parenthèses, multiplications/divisions avant additions/soustractions).

Exercice type contrôle

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible :

$B = \frac{7}{12} + \frac{1}{4}$
$C = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10}$
$D = \left(1 - \frac{1}{3}\right) \div \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)$

Calcul de $B = \frac{7}{12} + \frac{1}{4}$ :
Pour additionner, il faut le même dénominateur. On réduit $\frac{1}{4}$ au dénominateur $12$ :
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
Alors $B = \frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7+3}{12} = \frac{10}{12}$
On simplifie la fraction : $B = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$
Calcul de $C = \frac{5}{9} \times \frac{3}{10}$ :
On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
$C = \frac{5 \times 3}{9 \times 10} = \frac{15}{90}$
On simplifie la fraction en divisant par $15$ (ou par $5$ puis par $3$) :
$C = \frac{15 \div 15}{90 \div 15} = \frac{1}{6}$
Autre méthode (simplification avant multiplication) :
$C = \frac{5}{3 \times 3} \times \frac{3}{2 \times 5} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
Calcul de $D = \left(1 - \frac{1}{3}\right) \div \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right)$ :
On calcule d'abord l'intérieur de chaque parenthèse.
Première parenthèse : $1 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3-1}{3} = \frac{2}{3}$
Deuxième parenthèse : $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$
L'expression devient $D = \frac{2}{3} \div \frac{3}{4}$
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
$D = \frac{2}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 3} = \frac{8}{9}$

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on réduire au même dénominateur pour additionner ou soustraire ?

Imaginez que vous additionnez des pommes et des oranges. Vous ne pouvez pas dire que vous avez 'deux fruits' si vous voulez garder la nature de chaque fruit. De même, $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$ représentent des parts de tailles différentes. Pour les additionner, il faut les exprimer en parts de même taille (le dénominateur commun), par exemple en sixièmes : $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ et $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Alors $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$. C'est comme additionner des unités de mesure identiques.

Comment trouver le plus petit dénominateur commun ?

Pour trouver le plus petit dénominateur commun (PPCM), on peut lister les multiples de chaque dénominateur jusqu'à trouver le premier multiple commun. Par exemple, pour $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{8}$ : multiples de $6$ sont $6, 12, 18, 24, 30, \dots$ ; multiples de $8$ sont $8, 16, 24, 32, \dots$. Le PPCM est $24$. On peut aussi décomposer les dénominateurs en facteurs premiers.

Est-il toujours nécessaire de simplifier une fraction ?

Oui, il est toujours préférable de donner un résultat sous forme de fraction irréductible (simplifiée au maximum). Cela rend le nombre plus facile à manipuler et à comparer, et c'est la forme attendue en mathématiques, sauf indication contraire. Cela permet aussi de vérifier plus facilement si deux fractions sont égales.

Peut-on simplifier des fractions avant de multiplier ?

Oui, et c'est même fortement recommandé ! Par exemple, pour $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$, on peut voir que le $3$ au numérateur et le $3$ au dénominateur s'annulent : $\frac{2}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Cela évite de manipuler de grands nombres et de devoir simplifier une fraction plus complexe à la fin.

Pour aller plus loin

Le passage en Seconde est difficile ?

Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.

06 20 13 00 82 Cours de maths en Seconde →