Définition
Un multiple d'un nombre entier $a$ est un nombre entier $b$ tel qu'il existe un entier $k$ vérifiant $b = k \times a$.
Un diviseur d'un nombre entier $b$ est un nombre entier $a$ tel qu'il existe un entier $k$ vérifiant $b = k \times a$. On dit alors que $b$ est divisible par $a$.
Un nombre entier est pair s'il est un multiple de $2$, c'est-à-dire s'il peut s'écrire sous la forme $2k$ où $k$ est un entier.
Un nombre entier est impair s'il n'est pas pair, c'est-à-dire s'il peut s'écrire sous la forme $2k+1$ où $k$ est un entier.
Méthode : Multiples, diviseurs, nombres pairs et impairs
Vérifier si un nombre est multiple ou diviseur
Pour vérifier si un entier $b$ est un multiple de $a$ (ou si $a$ est un diviseur de $b$), on effectue la division euclidienne de $b$ par $a$. Si le reste est $0$, alors $b$ est un multiple de $a$ et $a$ est un diviseur de $b$. Sinon, ce n'est pas le cas.
Identifier un nombre pair ou impair
Un nombre entier est pair si son chiffre des unités est $0, 2, 4, 6$ ou $8$. Il est impair si son chiffre des unités est $1, 3, 5, 7$ ou $9$. On peut aussi vérifier s'il est de la forme $2k$ (pair) ou $2k+1$ (impair) en effectuant la division par $2$.
Démontrer des propriétés sur les nombres pairs/impairs
Pour démontrer une propriété générale (par exemple, la somme de deux nombres pairs est paire), on utilise les définitions formelles : on représente un nombre pair par $2k$ et un nombre impair par $2k+1$, où $k$ est un entier. On effectue ensuite les opérations algébriques et on vérifie si le résultat est de la forme $2K$ (pair) ou $2K+1$ (impair) pour un certain entier $K$.
Exemple résolu
Par définition, il existe des entiers $k_1$ et $k_2$ tels que $a = 2k_1+1$ et $b = 2k_2+1$.
$$a \times b = (2k_1+1)(2k_2+1)$$
$$a \times b = 4k_1k_2 + 2k_1 + 2k_2 + 1$$
$$a \times b = 2(2k_1k_2 + k_1 + k_2) + 1$$
Donc, $a \times b = 2K+1$.
Confondre les définitions formelles
- Ne pas utiliser des variables différentes pour des entiers différents (par exemple, écrire $2k+1$ et $2k+1$ pour deux nombres impairs distincts, au lieu de $2k_1+1$ et $2k_2+1$).
- Oublier que $k$ doit être un entier dans les définitions de pair ($2k$) et impair ($2k+1$).
- Tenter de démontrer une propriété générale avec un seul exemple numérique (par exemple, $3 \times 5 = 15$ est impair, donc le produit de deux impairs est impair). Un exemple ne prouve rien, il faut une démonstration générale.
Exercice type contrôle
Soit $n$ un entier naturel.- Déterminer si $123$ est un multiple de $3$. Justifier.
- Démontrer que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair.
- Montrer que le nombre $A = (2n+1)^2 - 1$ est un multiple de $4$.
- Pour déterminer si $123$ est un multiple de $3$, on effectue la division euclidienne de $123$ par $3$.
$$123 \div 3 = 41$$
Le reste de la division est $0$. Donc $123$ est un multiple de $3$. - Soient un nombre pair $P$ et un nombre impair $I$.
Par définition, il existe un entier $k_1$ tel que $P = 2k_1$.
Par définition, il existe un entier $k_2$ tel que $I = 2k_2+1$.
Calculons leur somme :
$$P+I = 2k_1 + (2k_2+1)$$
$$P+I = 2k_1 + 2k_2 + 1$$
$$P+I = 2(k_1+k_2) + 1$$
Posons $K = k_1+k_2$. Puisque $k_1$ et $k_2$ sont des entiers, $K$ est aussi un entier.
Donc, $P+I = 2K+1$. La somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair. - On développe l'expression $A = (2n+1)^2 - 1$ :
$$A = ((2n)^2 + 2 \times 2n \times 1 + 1^2) - 1$$
$$A = (4n^2 + 4n + 1) - 1$$
$$A = 4n^2 + 4n$$
On peut factoriser par $4$ :
$$A = 4(n^2+n)$$
Posons $K = n^2+n$. Puisque $n$ est un entier naturel, $n^2$ est un entier et $n^2+n$ est un entier.
Donc, $A = 4K$. Par définition, $A$ est un multiple de $4$.
Questions fréquentes
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