Définition
La racine carrée d'un nombre réel positif $a$ est le nombre réel positif, noté $\sqrt{a}$, dont le carré est $a$. Autrement dit, pour tout nombre $a \geq 0$, $\sqrt{a} \geq 0$ et $(\sqrt{a})^2 = a$.
Par exemple, $\sqrt{9} = 3$ car $3^2 = 9$ et $3 \geq 0$.
Attention : la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.
Méthode : Racines carrées : définition et propriétés
Simplifier une racine carrée
Pour simplifier une racine carrée $\sqrt{a}$, on cherche à écrire $a$ sous la forme $b^2 \times c$, où $c$ est le plus petit entier possible. On utilise ensuite la propriété $\sqrt{b^2 \times c} = \sqrt{b^2} \times \sqrt{c} = b\sqrt{c}$ (avec $b \geq 0$).
Exemple : $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{6^2 \times 2} = 6\sqrt{2}$.
Propriétés des racines carrées
Pour tous nombres réels positifs $a$ et $b$ :
- $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
- $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (avec $b \neq 0$)
- $(\sqrt{a})^2 = a$
- $\sqrt{a^2} = a$ (si $a \geq 0$) et $\sqrt{a^2} = -a$ (si $a \lt 0$), donc $\sqrt{a^2} = |a|$
Addition et soustraction
On ne peut additionner ou soustraire des racines carrées que si elles ont le même terme sous la racine. On factorise alors le terme commun.
Exemple : $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
Attention : $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ et $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a-b}$.
Rendre un dénominateur entier
Pour rendre un dénominateur entier lorsqu'il contient une racine carrée, on multiplie le numérateur et le dénominateur par cette racine carrée.
Exemple : $\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.
Exemple résolu
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{2^2 \times 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{5^2 \times 3} = 5\sqrt{3}$
$A = 5 \times (2\sqrt{3}) - (5\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}$
$A = (10 - 5 + 2)\sqrt{3}$
$A = 7\sqrt{3}$
Erreurs courantes avec les racines carrées
- Confondre $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ avec $\sqrt{a+b}$. C'est faux ! Par exemple, $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, mais $\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
- Oublier que $\sqrt{a}$ n'est défini que pour $a \geq 0$. On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.
- Croire que $\sqrt{a^2} = a$ est toujours vrai. C'est vrai si $a \geq 0$. Si $a \lt 0$, alors $\sqrt{a^2} = -a$. Par exemple, $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, et non $-3$. On a en fait $\sqrt{a^2} = |a|$.
- Simplifier $\sqrt{a \times b}$ en $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ mais ne pas faire la même erreur pour l'addition/soustraction. Les propriétés de multiplication et de division ne s'appliquent pas à l'addition et la soustraction.
Exercice type contrôle
Simplifier les expressions suivantes :- $B = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + \sqrt{18}$
- $C = (\sqrt{7} - 2)^2$
- $D = \frac{6}{\sqrt{3}}$
- Pour $B = \sqrt{50} - 3\sqrt{8} + \sqrt{18}$ :
On simplifie chaque terme :
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$
$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$
On substitue et on calcule :
$B = 5\sqrt{2} - 3(2\sqrt{2}) + 3\sqrt{2}$
$B = 5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$B = (5 - 6 + 3)\sqrt{2}$
$B = 2\sqrt{2}$ - Pour $C = (\sqrt{7} - 2)^2$ :
On utilise l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = \sqrt{7}$ et $b = 2$.
$C = (\sqrt{7})^2 - 2 \times \sqrt{7} \times 2 + 2^2$
$C = 7 - 4\sqrt{7} + 4$
$C = 11 - 4\sqrt{7}$ - Pour $D = \frac{6}{\sqrt{3}}$ :
On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{3}$ pour rendre le dénominateur entier :
$D = \frac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}$
$D = \frac{6\sqrt{3}}{3}$
$D = 2\sqrt{3}$
Questions fréquentes
Pourquoi la racine carrée d'un nombre négatif n'existe-t-elle pas ?
Comment savoir si je dois simplifier une racine carrée ?
Est-ce que $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ?
Quand faut-il rendre un dénominateur entier ?
Pour aller plus loin
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