Définition
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme ou une différence. Factoriser une expression, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Ces deux opérations sont inverses l'une de l'autre et utilisent les propriétés de la distributivité de la multiplication sur l'addition et la soustraction, ainsi que les identités remarquables.
Bon réflexe : Avant de développer ou factoriser, identifie la structure de l'expression : produit, somme, carré, différence de carrés. Cela t'aidera à choisir la bonne méthode.
Méthode : Développer et factoriser une expression
1
Distributivité simple
Pour développer ou factoriser une expression de la forme $k(a+b)$ ou $k(a-b)$, on utilise la distributivité simple :
- Développer : $k(a+b) = ka + kb$ et $k(a-b) = ka - kb$
- Factoriser : $ka + kb = k(a+b)$ et $ka - kb = k(a-b)$
2
Distributivité double
Pour développer une expression de la forme $(a+b)(c+d)$, on utilise la distributivité double : $$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$
3
Identités remarquables
Trois identités remarquables sont fondamentales pour développer et factoriser :
- Carré d'une somme : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- Carré d'une différence : $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- Différence de deux carrés : $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
4
Regrouper et réduire
Après avoir développé, il est souvent nécessaire de regrouper les termes de même nature (les termes en $x^2$, les termes en $x$, les constantes) et de les réduire pour simplifier l'expression.
Exemple résolu
Soit l'expression $A = (2x-3)^2 - (x+1)(4x-5)$. Développer et réduire $A$.
1
Développer $(2x-3)^2$
C'est une identité remarquable de la forme $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a=2x$ et $b=3$. $$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 \times (2x) \times 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$
2
Développer $(x+1)(4x-5)$
C'est une distributivité double : $$(x+1)(4x-5) = x \times (4x) + x \times (-5) + 1 \times (4x) + 1 \times (-5) = 4x^2 - 5x + 4x - 5 = 4x^2 - x - 5$$
3
Substituer les expressions développées dans $A$
On remplace les termes dans l'expression originale, en faisant attention au signe moins devant la deuxième parenthèse : $$A = (4x^2 - 12x + 9) - (4x^2 - x - 5)$$ $$A = 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + x + 5$$
4
Regrouper et réduire les termes
On regroupe les termes en $x^2$, les termes en $x$ et les constantes : $$A = (4x^2 - 4x^2) + (-12x + x) + (9 + 5)$$ $$A = 0x^2 - 11x + 14$$
L'expression développée et réduite de $A$ est $A = -11x + 14$.
Erreurs fréquentes en développement et factorisation
- Oublier les parenthèses après un signe moins : $-(a+b) = -a-b$ et non $-a+b$. C'est une erreur très courante qui change tous les signes.
- Confondre $(a+b)^2$ avec $a^2+b^2$. L'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ est souvent mal appliquée, le terme $2ab$ est fréquemment oublié.
- Ne pas identifier le facteur commun lors de la factorisation. Par exemple, dans $3x+6$, le facteur commun est $3$, donc $3(x+2)$. Dans $x^2+2x$, le facteur commun est $x$, donc $x(x+2)$.
- Ne pas reconnaître une identité remarquable pour factoriser. Par exemple, $x^2-9$ est de la forme $a^2-b^2$ avec $a=x$ et $b=3$, donc $(x-3)(x+3)$.
- Faire des erreurs de signe lors de la multiplication ou de la soustraction des termes.
Exercice type contrôle
Développer et réduire les expressions suivantes :- $E_1 = (3x+2)(x-4)$
- $E_2 = (5x-1)^2 - (2x+3)(5x-1)$
Correction de l'exercice :
- Développement de $E_1 = (3x+2)(x-4)$ :
On utilise la double distributivité :$$E_1 = 3x \times x + 3x \times (-4) + 2 \times x + 2 \times (-4)$$ $$E_1 = 3x^2 - 12x + 2x - 8$$ $$E_1 = 3x^2 - 10x - 8$$ - Développement de $E_2 = (5x-1)^2 - (2x+3)(5x-1)$ :
On développe $(5x-1)^2$ avec l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :$$(5x-1)^2 = (5x)^2 - 2 \times (5x) \times 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$$
On développe $(2x+3)(5x-1)$ avec la double distributivité :$$(2x+3)(5x-1) = 2x \times 5x + 2x \times (-1) + 3 \times 5x + 3 \times (-1)$$ $$ = 10x^2 - 2x + 15x - 3 = 10x^2 + 13x - 3$$
Maintenant, on substitue ces résultats dans $E_2$ en faisant attention au signe moins :$$E_2 = (25x^2 - 10x + 1) - (10x^2 + 13x - 3)$$ $$E_2 = 25x^2 - 10x + 1 - 10x^2 - 13x + 3$$
On regroupe et réduit les termes :$$E_2 = (25x^2 - 10x^2) + (-10x - 13x) + (1 + 3)$$ $$E_2 = 15x^2 - 23x + 4$$
Questions fréquentes
Quand faut-il développer ou factoriser une expression ?
Développer est utile pour simplifier une expression, la réduire à une somme de termes, ou pour résoudre des équations (en ramenant les termes d'un côté pour obtenir $Ax+B=0$ ou $Ax^2+Bx+C=0$). Factoriser est essentiel pour résoudre des équations-produits nulles (de la forme $A \times B = 0$), pour simplifier des fractions rationnelles, ou pour étudier le signe d'une expression.
Comment savoir quelle méthode utiliser (distributivité ou identités remarquables) ?
Les identités remarquables sont des cas particuliers de la distributivité. Si l'expression est de la forme $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ ou $(a-b)(a+b)$, utiliser les identités remarquables est plus rapide et moins source d'erreurs. Pour les autres produits de sommes ou différences, la distributivité simple ou double est la méthode générale. Pour la factorisation, on cherche d'abord un facteur commun, puis on regarde si l'expression restante correspond à une identité remarquable.
Est-ce que $-(a-b)$ est égal à $-a-b$ ou $-a+b$ ?
C'est égal à $-a+b$. Le signe moins devant une parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur de cette parenthèse. On peut le voir comme une multiplication par $-1$: $-(a-b) = -1 \times (a-b) = -1 \times a - 1 \times (-b) = -a + b$.
Peut-on toujours factoriser une expression ?
Non, toutes les expressions ne peuvent pas être factorisées de manière simple. Pour factoriser, il faut qu'il y ait un facteur commun (nombre, variable ou expression) ou que l'expression corresponde à une identité remarquable. Par exemple, $x^2+1$ ne peut pas être factorisé dans l'ensemble des nombres réels.
Pour aller plus loin
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