Nombres et calculs · Fiche N°9 / 80

Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, etc. Le nombre $1$ n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur. Le nombre $0$ n'est pas premier. Tout entier naturel non nul et non premier est appelé nombre composé.
La décomposition en facteurs premiers d'un entier naturel $n$ (supérieur ou égal à $2$) est l'écriture de $n$ comme un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Bon réflexe : Pour décomposer un nombre, commence toujours par le plus petit nombre premier ($2$), puis $3$, puis $5$, et ainsi de suite, jusqu'à obtenir $1$.

Méthode : Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

1

Diviser par le plus petit nombre premier

On commence par diviser le nombre $n$ par le plus petit nombre premier, qui est $2$, tant que la division est exacte. On note le nombre de fois où $2$ est un facteur.

2

Passer au nombre premier suivant

Si le nombre n'est plus divisible par $2$, on essaie de le diviser par le nombre premier suivant, qui est $3$, tant que la division est exacte.

3

Continuer avec les nombres premiers successifs

On répète le processus avec les nombres premiers dans l'ordre croissant ($5$, $7$, $11$, $13$, etc.) jusqu'à obtenir un quotient de $1$.

4

Écrire la décomposition

On écrit le nombre $n$ comme le produit de tous les nombres premiers par lesquels on a divisé, en utilisant des puissances pour les facteurs répétés.

Exemple résolu

Décomposer le nombre $252$ en facteurs premiers.
1
Diviser par $2$
$252 \div 2 = 126$
$126 \div 2 = 63$
Le nombre $2$ est un facteur deux fois.
2
Diviser par $3$
Le nombre $63$ n'est pas divisible par $2$. On essaie $3$.
$63 \div 3 = 21$
$21 \div 3 = 7$
Le nombre $3$ est un facteur deux fois.
3
Diviser par $5$ ou $7$
Le nombre $7$ n'est pas divisible par $5$. On essaie $7$.
$7 \div 7 = 1$
Le nombre $7$ est un facteur une fois. Le quotient est $1$, on a terminé.
4
Écrire la décomposition
On regroupe les facteurs premiers : $252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7$.
En utilisant les puissances : $252 = 2^2 × 3^2 × 7^1$ (ou simplement $2^2 × 3^2 × 7$).
La décomposition en facteurs premiers de $252$ est $2^2 × 3^2 × 7$.

Piège fréquent en Seconde : Ne pas utiliser que des nombres premiers

  1. Utiliser des nombres composés comme diviseurs : par exemple, diviser par $4$ ou $6$ au lieu de $2$ ou $3$. La décomposition doit être faite uniquement avec des nombres premiers.
  2. Oublier de diviser par un facteur premier autant de fois que possible : par exemple, s'arrêter après une seule division par $2$ alors que le nombre est encore pair.
  3. Ne pas vérifier si le nombre est premier avant de l'utiliser comme facteur : par exemple, penser que $9$ est un nombre premier alors que $9 = 3 × 3$.

Exercice type contrôle

On considère le nombre $N = 180$.
  1. Décomposer $N$ en facteurs premiers.
  2. Donner la liste de tous les diviseurs de $N$.
  3. Le nombre $180$ est-il un nombre premier ? Justifier votre réponse.
  1. Décomposition de $180$ en facteurs premiers :
    $180 \div 2 = 90$
    $90 \div 2 = 45$
    $45 \div 3 = 15$
    $15 \div 3 = 5$
    $5 \div 5 = 1$
    Donc, la décomposition en facteurs premiers de $180$ est $2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2^2 × 3^2 × 5$.
  2. Pour trouver tous les diviseurs de $180$, on peut utiliser sa décomposition en facteurs premiers $2^2 × 3^2 × 5^1$.
    Les diviseurs sont de la forme $2^a × 3^b × 5^c$ où $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 2$, $0 \leq c \leq 1$.
    Les diviseurs de $2^2$ sont $1, 2, 4$.
    Les diviseurs de $3^2$ sont $1, 3, 9$.
    Les diviseurs de $5^1$ sont $1, 5$.
    On combine ces diviseurs :
    • $1 × 1 × 1 = 1$
    • $1 × 1 × 5 = 5$
    • $1 × 3 × 1 = 3$
    • $1 × 3 × 5 = 15$
    • $1 × 9 × 1 = 9$
    • $1 × 9 × 5 = 45$
    • $2 × 1 × 1 = 2$
    • $2 × 1 × 5 = 10$
    • $2 × 3 × 1 = 6$
    • $2 × 3 × 5 = 30$
    • $2 × 9 × 1 = 18$
    • $2 × 9 × 5 = 90$
    • $4 × 1 × 1 = 4$
    • $4 × 1 × 5 = 20$
    • $4 × 3 × 1 = 12$
    • $4 × 3 × 5 = 60$
    • $4 × 9 × 1 = 36$
    • $4 × 9 × 5 = 180$
    La liste des diviseurs de $180$ est : $1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180$.
  3. Le nombre $180$ n'est pas un nombre premier. Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Or, $180$ a de nombreux diviseurs autres que $1$ et $180$ (par exemple $2$, $3$, $4$, $5$, etc.). Il est donc un nombre composé.

Questions fréquentes

Pourquoi $1$ n'est-il pas un nombre premier ?
Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même. Le nombre $1$ n'a qu'un seul diviseur, qui est $1$. Il ne remplit donc pas la condition d'avoir deux diviseurs distincts.
Comment savoir si un grand nombre est premier ?
Pour savoir si un nombre $N$ est premier, on peut essayer de le diviser par tous les nombres premiers successifs jusqu'à $\sqrt{N}$. Si aucune de ces divisions n'est exacte, alors $N$ est premier. Par exemple, pour $101$, $\sqrt{101} \approx 10{,}05$. On teste les nombres premiers $2, 3, 5, 7$. $101$ n'est divisible par aucun d'eux, donc $101$ est premier.
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
La décomposition en facteurs premiers est très utile pour simplifier des fractions, calculer le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux nombres, ou encore pour résoudre certains problèmes d'arithmétique. Elle permet de mieux comprendre la structure des nombres.
Est-ce que l'ordre des facteurs premiers est important ?
Non, l'ordre des facteurs premiers n'est pas important. Par exemple, $2 × 3 × 5$ est la même décomposition que $5 × 2 × 3$. Par convention, on écrit généralement les facteurs premiers dans l'ordre croissant.

Pour aller plus loin

Le passage en Seconde est difficile ?

Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.

06 20 13 00 82 Cours de maths en Seconde →