Définition
Les identités remarquables sont des égalités qui permettent de développer ou de factoriser des expressions algébriques de manière rapide. Elles sont au nombre de trois et sont à connaître par cœur pour simplifier les calculs et résoudre des équations. Elles sont valables pour tous nombres réels $a$ et $b$.
Bon réflexe : Réciter les trois identités remarquables à voix haute avant chaque exercice pour les mémoriser et les appliquer correctement.
Méthode : Les identités remarquables
1
Identifier la forme
Avant de développer ou de factoriser, il faut reconnaître laquelle des trois identités remarquables correspond à l'expression donnée.
- Forme $(a+b)^2$ : un carré d'une somme.
- Forme $(a-b)^2$ : un carré d'une différence.
- Forme $(a-b)(a+b)$ : un produit d'une somme par une différence.
2
Appliquer la formule de développement
Si l'expression est sous la forme factorisée, on utilise les formules pour développer :
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
3
Appliquer la formule de factorisation
Si l'expression est sous la forme développée, on utilise les formules pour factoriser :
- $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
- $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
4
Simplifier l'expression
Après avoir appliqué l'identité remarquable, il est souvent nécessaire de simplifier l'expression obtenue en regroupant les termes similaires et en effectuant les calculs numériques.
Exemple résolu
Développer et réduire l'expression $A = (3x-5)^2 - (x+2)(x-2)$.
1
Développer $(3x-5)^2$
C'est de la forme $(a-b)^2$ avec $a=3x$ et $b=5$.
$$(3x-5)^2 = (3x)^2 - 2 × (3x) × 5 + 5^2$$
$$= 9x^2 - 30x + 25$$
2
Développer $(x+2)(x-2)$
C'est de la forme $(a+b)(a-b)$ avec $a=x$ et $b=2$.
$$(x+2)(x-2) = x^2 - 2^2$$
$$= x^2 - 4$$
3
Substituer les développements dans l'expression $A$
On remplace les parties développées dans l'expression initiale. Attention aux parenthèses après le signe moins.
$$A = (9x^2 - 30x + 25) - (x^2 - 4)$$
$$A = 9x^2 - 30x + 25 - x^2 + 4$$
4
Réduire l'expression $A$
On regroupe les termes en $x^2$, les termes en $x$ et les constantes.
$$A = (9x^2 - x^2) - 30x + (25 + 4)$$
$$A = 8x^2 - 30x + 29$$
L'expression développée et réduite est $A = 8x^2 - 30x + 29$.
Oubli du double produit ou erreur de signe
- Oublier le terme $2ab$ dans $(a+b)^2$ ou $(a-b)^2$. Par exemple, $(x+3)^2 \neq x^2+9$. Le bon calcul est $(x+3)^2 = x^2 + 2 × x × 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$.
- Faire une erreur de signe avec le double produit. Par exemple, $(x-3)^2 \neq x^2 + 6x + 9$. Le bon calcul est $(x-3)^2 = x^2 - 2 × x × 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.
- Oublier les parenthèses après un signe moins lors du développement. Par exemple, $5 - (x+1)^2 = 5 - (x^2+2x+1) = 5 - x^2 - 2x - 1 = -x^2 - 2x + 4$. Une erreur fréquente serait $5 - x^2 + 2x + 1$.
- Confondre $(a-b)^2$ et $a^2-b^2$. Ce sont deux identités différentes. $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ tandis que $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
- Ne pas reconnaître $a$ et $b$ correctement quand ils sont des expressions plus complexes, comme $a=2x$ ou $b=3y$. Par exemple, $(2x+y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$.
Exercice type contrôle
Développer et réduire les expressions suivantes :- $B = (4x+3)^2$
- $C = (2x-7)(2x+7)$
- $D = (x-1)^2 - (x+4)(x-4)$
-
Pour $B = (4x+3)^2$, on utilise l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a=4x$ et $b=3$.
$B = (4x)^2 + 2 × (4x) × 3 + 3^2$
$B = 16x^2 + 24x + 9$ -
Pour $C = (2x-7)(2x+7)$, on utilise l'identité $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ avec $a=2x$ et $b=7$.
$C = (2x)^2 - 7^2$
$C = 4x^2 - 49$ -
Pour $D = (x-1)^2 - (x+4)(x-4)$, on développe chaque partie séparément.
D'abord $(x-1)^2$ : c'est de la forme $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a=x$ et $b=1$.
$(x-1)^2 = x^2 - 2 × x × 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$
Ensuite $(x+4)(x-4)$ : c'est de la forme $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a=x$ et $b=4$.
$(x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$
Maintenant, on substitue ces résultats dans l'expression $D$. Attention au signe moins devant la deuxième parenthèse.
$D = (x^2 - 2x + 1) - (x^2 - 16)$
$D = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 16$
On regroupe les termes :
$D = (x^2 - x^2) - 2x + (1 + 16)$
$D = 0x^2 - 2x + 17$
$D = -2x + 17$
Questions fréquentes
Pourquoi est-ce important de connaître les identités remarquables ?
Elles permettent de gagner du temps dans les calculs, d'éviter des erreurs de développement (en particulier avec le double produit) et sont essentielles pour la factorisation, la résolution d'équations du second degré et la simplification de fractions rationnelles en Première et Terminale.
Comment savoir si je dois développer ou factoriser ?
Cela dépend de la question posée. Si on te demande de 'développer et réduire', tu pars d'une forme factorisée (avec des parenthèses) pour arriver à une somme de termes. Si on te demande de 'factoriser', tu pars d'une somme de termes pour arriver à un produit de facteurs (avec des parenthèses). Parfois, il faut développer pour simplifier, puis factoriser pour résoudre une équation.
Est-ce que $(a+b)^2 = a^2+b^2$ ?
Non, c'est une erreur très fréquente ! $(a+b)^2$ signifie $(a+b) × (a+b)$. Si tu développes, tu obtiens $a × a + a × b + b × a + b × b = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Le terme $2ab$ est le 'double produit' et il est crucial de ne pas l'oublier.
Y a-t-il d'autres identités remarquables que celles-ci ?
Au lycée, en Seconde, ce sont les trois seules identités remarquables que tu dois maîtriser. Il existe des généralisations pour des puissances plus élevées (comme $(a+b)^3$), mais elles ne sont pas au programme de Seconde.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.