Évolutions successives et évolution réciproque – Fiche Maths Seconde

Q: Comment savoir si le taux d'évolution est une augmentation ou une diminution ?

Si le coefficient multiplicateur est supérieur à 1, c'est une augmentation. Si le coefficient multiplicateur est inférieur à 1, c'est une diminution. Le taux d'évolution t = (CM - 1) \times 100 sera positif pour une augmentation et négatif pour une diminution.

Définition

Une évolution correspond à une augmentation ou une diminution d'une valeur. Elle peut être exprimée en pourcentage. Pour une valeur initiale $V_0$ qui devient $V_1$ après une évolution de $t$ %, la nouvelle valeur est $V_1 = V_0 \times \left(1 + \frac{t}{100}\right)$. Le terme $\left(1 + \frac{t}{100}\right)$ est appelé coefficient multiplicateur (CM). Si $t$ est positif, c'est une augmentation ; si $t$ est négatif, c'est une diminution.

Bon réflexe : Toujours convertir les pourcentages en coefficients multiplicateurs avant d'effectuer des calculs d'évolutions successives ou réciproques.

Méthode : Évolutions successives et évolution réciproque

Calculer le coefficient multiplicateur (CM)

Pour une évolution de $t$ %, le coefficient multiplicateur est $CM = 1 + \frac{t}{100}$. Si c'est une augmentation de $t$ %, $CM = 1 + \frac{t}{100}$. Si c'est une diminution de $t$ %, $CM = 1 - \frac{t}{100}$ (ce qui revient à $t$ négatif).

Appliquer une évolution

Pour calculer la nouvelle valeur $V_1$ après une évolution de $t$ % à partir d'une valeur initiale $V_0$, on utilise la formule $V_1 = V_0 \times CM$.

Appliquer des évolutions successives

Si une valeur subit plusieurs évolutions successives de $t_1$ %, $t_2$ %, ..., $t_n$ %, le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit des coefficients multiplicateurs de chaque évolution : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n$. La valeur finale $V_n$ est $V_n = V_0 \times CM_{global}$.

Calculer une évolution réciproque

Si une valeur $V_0$ a été multipliée par un coefficient multiplicateur $CM$ pour obtenir $V_1$, le coefficient multiplicateur réciproque $CM_{reciproque}$ qui permet de revenir de $V_1$ à $V_0$ est $CM_{reciproque} = \frac{1}{CM}$. Le taux d'évolution réciproque $t_{reciproque}$ est alors $t_{reciproque} = (CM_{reciproque} - 1) \times 100$ %.

Exemple résolu

Un article coûte initialement $120$ €. Son prix augmente de $10$ %, puis diminue de $5$ %. Quel est le prix final de l'article ? Quel est le taux d'évolution global ?

Calculer le CM de la première évolution

L'article augmente de $10$ %. Le coefficient multiplicateur $CM_1$ est $1 + \frac{10}{100} = 1 + 0{,}1 = 1{,}1$.

Calculer le CM de la deuxième évolution

L'article diminue de $5$ %. Le coefficient multiplicateur $CM_2$ est $1 - \frac{5}{100} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$.

Calculer le CM global

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit des CM successifs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = 1{,}1 \times 0{,}95 = 1{,}045$.

Calculer le prix final

Le prix initial est $V_0 = 120$ €. Le prix final $V_2$ est $V_2 = V_0 \times CM_{global} = 120 \times 1{,}045 = 125{,}4$ €.

Calculer le taux d'évolution global

Le taux d'évolution global $t_{global}$ est $(CM_{global} - 1) \times 100$ %. Donc $t_{global} = (1{,}045 - 1) \times 100 = 0{,}045 \times 100 = 4{,}5$ %.

Le prix final de l'article est de $125{,}4$ €. Le taux d'évolution global est une augmentation de $4{,}5$ %.

Ne pas additionner les pourcentages

Une augmentation de $10$ % suivie d'une diminution de $5$ % NE CORRESPOND PAS à une augmentation de $10 - 5 = 5$ %. Il faut toujours passer par les coefficients multiplicateurs.
Le pourcentage d'une diminution s'applique sur la nouvelle valeur, pas sur la valeur initiale. Par exemple, une diminution de $5$ % après une augmentation de $10$ % s'applique sur le prix après l'augmentation, et non sur le prix initial.
Pour une évolution réciproque, le taux pour revenir à la valeur initiale n'est pas l'opposé du taux initial. Par exemple, si une valeur augmente de $20$ %, il ne faut pas la diminuer de $20$ % pour retrouver la valeur initiale.

Exercice type contrôle

Le prix d'un smartphone est de $400$ €. Il subit une promotion de $15$ %, puis une semaine plus tard, son prix augmente de $5$ %. Quel est le prix final du smartphone ?
Un article coûte $80$ €. Après une certaine évolution, son prix est de $92$ €. Quel est le taux d'évolution en pourcentage ?
Une valeur a augmenté de $25$ %. Quel est le taux d'évolution réciproque permettant de revenir à la valeur initiale ?

Calcul du prix final du smartphone :
- Première évolution : diminution de $15$ %. Le CM est $CM_1 = 1 - \frac{15}{100} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
- Deuxième évolution : augmentation de $5$ %. Le CM est $CM_2 = 1 + \frac{5}{100} = 1 + 0{,}05 = 1{,}05$.
- Le CM global est $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = 0{,}85 \times 1{,}05 = 0{,}8925$.
- Le prix initial est $V_0 = 400$ €. Le prix final est $V_2 = V_0 \times CM_{global} = 400 \times 0{,}8925 = 357$ €.
Le prix final du smartphone est de $357$ €.
Calcul du taux d'évolution :
- La valeur initiale est $V_0 = 80$ €. La valeur finale est $V_1 = 92$ €.
- Le coefficient multiplicateur est $CM = \frac{V_1}{V_0} = \frac{92}{80} = 1{,}15$.
- Le taux d'évolution $t$ est $(CM - 1) \times 100$ %. Donc $t = (1{,}15 - 1) \times 100 = 0{,}15 \times 100 = 15$ %.
Le taux d'évolution est une augmentation de $15$ %.
Calcul du taux d'évolution réciproque :
- La valeur a augmenté de $25$ %. Le CM de cette évolution est $CM = 1 + \frac{25}{100} = 1 + 0{,}25 = 1{,}25$.
- Le CM réciproque est $CM_{reciproque} = \frac{1}{CM} = \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8$.
- Le taux d'évolution réciproque $t_{reciproque}$ est $(CM_{reciproque} - 1) \times 100$ %. Donc $t_{reciproque} = (0{,}8 - 1) \times 100 = -0{,}2 \times 100 = -20$ %.
Le taux d'évolution réciproque est une diminution de $20$ %.

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un coefficient multiplicateur ?

Un coefficient multiplicateur (CM) est le nombre par lequel on multiplie une valeur initiale pour obtenir la valeur après une évolution. Si une valeur augmente de $t$ %, le CM est $1 + \frac{t}{100}$. Si elle diminue de $t$ %, le CM est $1 - \frac{t}{100}$.

Pourquoi ne peut-on pas additionner ou soustraire les pourcentages directement lors d'évolutions successives ?

Les pourcentages s'appliquent sur des bases différentes. Une augmentation de $10$ % s'applique sur la valeur initiale, tandis qu'une diminution de $5$ % qui suit s'applique sur la valeur obtenue après l'augmentation. C'est pourquoi il faut utiliser les coefficients multiplicateurs, qui eux se multiplient.

Comment savoir si le taux d'évolution est une augmentation ou une diminution ?

Si le coefficient multiplicateur est supérieur à $1$, c'est une augmentation. Si le coefficient multiplicateur est inférieur à $1$, c'est une diminution. Le taux d'évolution $t = (CM - 1) \times 100$ sera positif pour une augmentation et négatif pour une diminution.

L'ordre des évolutions successives a-t-il une importance ?

Non, l'ordre des évolutions successives n'a pas d'importance pour le résultat final. Puisque les coefficients multiplicateurs sont multipliés entre eux ($CM_1 \times CM_2 = CM_2 \times CM_1$), le produit reste le même quel que soit l'ordre.

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