Nombres et calculs · Fiche N°13 / 80

Équation produit nul

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Une équation produit nul est une équation de la forme $A(x) \times B(x) = 0$, où $A(x)$ et $B(x)$ sont des expressions littérales.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Autrement dit, l'équation $A(x) \times B(x) = 0$ est équivalente à $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$.

Bon réflexe : Toujours vérifier que l'équation est bien égale à $0$ avant d'appliquer la règle du produit nul.

Méthode : Équation produit nul

1

Mettre sous forme de produit nul

Si l'équation n'est pas déjà sous la forme $A(x) \times B(x) = 0$, il faut la transformer. Cela implique souvent de développer, de factoriser, ou de transposer tous les termes d'un côté de l'égalité pour obtenir $0$ de l'autre côté.

2

Identifier les facteurs

Une fois l'équation sous la forme $A(x) \times B(x) = 0$, identifier clairement les expressions $A(x)$ et $B(x)$ qui constituent les facteurs du produit.

3

Résoudre chaque équation facteur nul

Poser et résoudre séparément les deux équations $A(x) = 0$ et $B(x) = 0$. Ces équations sont généralement du premier degré.

4

Écrire l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions de l'équation produit nul est l'union des solutions trouvées pour chaque équation facteur nul.

Exemple résolu

Résoudre l'équation suivante : $(3x - 6)(x + 5) = 0$.
1
L'équation est déjà sous forme de produit nul.
L'équation est de la forme $A(x) \times B(x) = 0$, où $A(x) = 3x - 6$ et $B(x) = x + 5$.
2
Résoudre la première équation facteur nul.
$3x - 6 = 0$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
3
Résoudre la deuxième équation facteur nul.
$x + 5 = 0$
$x = -5$
4
Écrire l'ensemble des solutions.
Les solutions de l'équation $(3x - 6)(x + 5) = 0$ sont $2$ et $-5$.
L'ensemble des solutions est $S = \{-5\,; 2\}$.

Piège fréquent en Seconde : Ne pas factoriser avant de résoudre

  1. Tenter de résoudre une équation non nulle (ex: $A(x) \times B(x) = C$) en posant $A(x) = C$ ou $B(x) = C$. Cette méthode est fausse.
  2. Développer l'expression $A(x) \times B(x)$ au lieu de la factoriser ou de la laisser sous forme factorisée. Cela conduit souvent à une équation du second degré plus complexe à résoudre sans les outils de Première.
  3. Oublier une solution après avoir résolu les deux équations facteurs nuls.

Exercice type contrôle

Résoudre les équations suivantes :
  1. $(2x + 1)(x - 4) = 0$
  2. $x(5 - x) = 0$
  3. $x^2 - 9 = 0$
  1. Pour l'équation $(2x + 1)(x - 4) = 0$ :
    Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
    On a donc $2x + 1 = 0$ ou $x - 4 = 0$.
    Résolvons la première équation :
    $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.
    Résolvons la deuxième équation :
    $x - 4 = 0 \implies x = 4$.
    L'ensemble des solutions est $S = \{-\frac{1}{2}\,; 4\}$.
  2. Pour l'équation $x(5 - x) = 0$ :
    Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x = 0$ ou $5 - x = 0$.
    La première solution est $x = 0$.
    Résolvons la deuxième équation :
    $5 - x = 0 \implies 5 = x \implies x = 5$.
    L'ensemble des solutions est $S = \{0\,; 5\}$.
  3. Pour l'équation $x^2 - 9 = 0$ :
    Cette équation n'est pas directement sous forme de produit nul. Il faut la factoriser.
    On reconnaît une identité remarquable de la forme $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ avec $a = x$ et $b = 3$.
    Donc $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
    L'équation devient $(x - 3)(x + 3) = 0$.
    Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
    On a donc $x - 3 = 0$ ou $x + 3 = 0$.
    Résolvons la première équation :
    $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
    Résolvons la deuxième équation :
    $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
    L'ensemble des solutions est $S = \{-3\,; 3\}$.

Questions fréquentes

Pourquoi ne peut-on pas appliquer cette méthode si l'équation n'est pas égale à 0 ?
La propriété fondamentale est que 'un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul'. Si l'équation est $A(x) \times B(x) = C$ avec $C \neq 0$, cette propriété ne s'applique pas. Par exemple, si $A(x) \times B(x) = 6$, on ne peut pas dire que $A(x) = 6$ ou $B(x) = 6$. Il y a une infinité de paires de nombres dont le produit est $6$ (par exemple $1 \times 6$, $2 \times 3$, $12 \times 0{,}5$, etc.).
Comment savoir si je dois factoriser ou développer ?
Si l'équation est déjà sous la forme $A(x) \times B(x) = 0$, ne développez surtout pas ! Résolvez directement. Si l'équation n'est pas sous cette forme et qu'elle contient des termes $x^2$ ou des produits, l'objectif est de la ramener à la forme $A(x) \times B(x) = 0$. Cela implique souvent de transposer tous les termes d'un côté pour avoir $0$ de l'autre, puis de factoriser l'expression obtenue. Le développement est rarement utile pour résoudre une équation produit nul.
Est-ce que toutes les équations du second degré peuvent être résolues par factorisation ?
Non, pas toutes les équations du second degré peuvent être résolues par factorisation simple en Seconde. Celles que vous rencontrerez en Seconde seront souvent des identités remarquables ($a^2 - b^2$) ou des expressions où un facteur commun est évident. Les méthodes générales de résolution des équations du second degré (avec le discriminant) sont vues en Première.
Que faire si j'ai plus de deux facteurs, par exemple $A(x) \times B(x) \times C(x) = 0$ ?
Le principe reste le même : un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. Donc, pour $A(x) \times B(x) \times C(x) = 0$, vous résoudriez $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$ ou $C(x) = 0$. Chaque solution de ces équations serait une solution de l'équation produit nul.

Pour aller plus loin

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