Définition
Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est une équation qui peut s'écrire sous la forme $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, et $a \neq 0$. Résoudre une telle équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.
Méthode : Résoudre une équation du premier degré
Simplifier l'équation
Si l'équation contient des parenthèses, des fractions ou des termes similaires (par exemple, $2x$ et $3x$), commence par les développer, les réduire ou les regrouper pour obtenir une forme plus simple.
Regrouper les termes en $x$
Déplace tous les termes contenant l'inconnue $x$ d'un côté de l'égalité (généralement à gauche) et tous les termes constants de l'autre côté (généralement à droite). Pour cela, utilise la règle : si tu ajoutes ou soustrais un même nombre aux deux membres d'une équation, l'égalité reste vraie. Si un terme change de côté, son signe change. Par exemple, $A+B=C \Leftrightarrow A=C-B$.
Isoler $x$
Une fois que l'équation est sous la forme $Ax = B$, où $A$ et $B$ sont des nombres, divise les deux membres de l'équation par le coefficient $A$ (qui est non nul). Utilise la règle : si tu multiplies ou divises les deux membres d'une équation par un même nombre non nul, l'égalité reste vraie. Par exemple, $Ax=B \Leftrightarrow x = \frac{B}{A}$.
Vérifier la solution
Remplace la valeur trouvée pour $x$ dans l'équation de départ. Si les deux membres de l'équation sont égaux, la solution est correcte.
Exemple résolu
On ajoute $6$ aux deux membres : $x - 6 + 6 = -1 + 6 \\ x = 5$
Membre de gauche : $3(5 - 2) + 5 \times 5 = 3(3) + 25 = 9 + 25 = 34$
Membre de droite : $7 \times 5 - 1 = 35 - 1 = 34$
Les deux membres sont égaux à $34$, la solution est correcte.
Piège fréquent en Seconde : Erreurs de signe
- Oublier de changer le signe d'un terme lorsqu'il passe d'un côté à l'autre de l'égalité. Par exemple, $x - 3 = 5$ devient $x = 5 + 3$, et non $x = 5 - 3$.
- Faire une erreur de calcul avec les nombres relatifs (addition, soustraction, multiplication ou division de nombres positifs et négatifs).
- Mal distribuer un nombre devant une parenthèse, surtout si ce nombre est négatif. Par exemple, $-2(x - 3) = -2x + 6$, et non $-2x - 6$.
Exercice type contrôle
Résoudre les équations suivantes :- $4x - 7 = 2x + 1$
- $5(x + 3) - 2x = 4x - 1$
- $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{2} - 1$
- Équation 1 : $4x - 7 = 2x + 1$
On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :
$4x - 2x = 1 + 7$
$2x = 8$
On divise par $2$ :
$x = \frac{8}{2}$
$x = 4$
La solution est $x = 4$. - Équation 2 : $5(x + 3) - 2x = 4x - 1$
On développe le membre de gauche :
$5x + 15 - 2x = 4x - 1$
On simplifie le membre de gauche :
$3x + 15 = 4x - 1$
On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :
$3x - 4x = -1 - 15$
$-x = -16$
On multiplie par $-1$ :
$x = 16$
La solution est $x = 16$. - Équation 3 : $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{2} - 1$
On met tous les termes sur un dénominateur commun (le plus petit multiple commun de $2$ et $3$ est $6$) :
$\frac{2x}{6} + \frac{12}{6} = \frac{3x}{6} - \frac{6}{6}$
On peut maintenant multiplier toute l'équation par $6$ pour éliminer les dénominateurs :
$2x + 12 = 3x - 6$
On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :
$2x - 3x = -6 - 12$
$-x = -18$
On multiplie par $-1$ :
$x = 18$
La solution est $x = 18$.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si $a=0$ dans $ax+b=0$ ?
Si $b=0$, l'équation est $0=0$, ce qui est toujours vrai. Il y a une infinité de solutions (tout nombre réel est solution).
Si $b \neq 0$, l'équation est $b=0$, ce qui est faux. Il n'y a aucune solution.
Comment gérer les fractions dans une équation ?
Est-ce que l'ordre des étapes est important ?
Pourquoi doit-on vérifier la solution ?
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