Résoudre une équation quotient – Fiche Maths Seconde

Q: Que se passe-t-il si une solution du numérateur est aussi une valeur interdite ?

Si une solution de A(x)=0 est aussi une valeur interdite (c'est-à-dire qu'elle annule aussi B(x)), alors cette valeur doit être exclue de l'ensemble des solutions de l'équation quotient. Elle ne peut pas être une solution car l'expression n'est pas définie pour cette valeur.

Q: Est-ce que toutes les équations quotients sont de la forme \frac{A(x)}{B(x)} = 0 ?

Non, une équation quotient peut aussi être de la forme \frac{A(x)}{B(x)} = C(x) ou \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}. Dans ces cas, il faut d'abord ramener l'équation à la forme \frac{E(x)}{F(x)} = 0 en regroupant tous les termes d'un côté de l'égalité et en les mettant au même dénominateur. C'est seulement après cette étape qu'on applique la méthode de résolution d'une équation quotient égale à zéro.

Définition

Une équation quotient est une équation de la forme $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$, où $A(x)$ et $B(x)$ sont des expressions algébriques (souvent des polynômes).
Pour qu'une fraction soit nulle, il faut et il suffit que son numérateur soit nul ET que son dénominateur soit non nul. En effet, la division par zéro est impossible.
Ainsi, résoudre $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ revient à résoudre $A(x) = 0$ et $B(x) \neq 0$.

Bon réflexe : Toujours commencer par chercher les valeurs interdites du dénominateur avant de résoudre l'équation du numérateur.

Méthode : Résoudre une équation quotient

Déterminer les valeurs interdites

Le dénominateur ne peut pas être nul. On résout $B(x) = 0$ pour trouver les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur. Ces valeurs sont appelées valeurs interdites et doivent être exclues des solutions.

Résoudre l'équation du numérateur

On résout l'équation $A(x) = 0$. Les solutions trouvées sont des solutions potentielles de l'équation quotient.

Vérifier la compatibilité des solutions

On compare les solutions de $A(x) = 0$ avec les valeurs interdites. Toute solution de $A(x) = 0$ qui est aussi une valeur interdite doit être rejetée.

Écrire l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions de l'équation quotient est l'ensemble des solutions de $A(x) = 0$ qui ne sont pas des valeurs interdites.

Exemple résolu

Résoudre l'équation suivante : $\frac{(2x-3)(x+5)}{x-1} = 0$.

1. Déterminer les valeurs interdites

Le dénominateur est $x-1$. Il ne doit pas être nul.
$x-1 = 0 \iff x = 1$.
La valeur interdite est $x=1$.

2. Résoudre l'équation du numérateur

Le numérateur est $(2x-3)(x+5)$.
$(2x-3)(x+5) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.
$2x-3 = 0 \iff 2x = 3 \iff x = \frac{3}{2}$.
ou
$x+5 = 0 \iff x = -5$.
Les solutions potentielles sont $x = \frac{3}{2}$ et $x = -5$.

3. Vérifier la compatibilité des solutions

Les solutions potentielles sont $x = \frac{3}{2}$ et $x = -5$.
La valeur interdite est $x=1$.
Aucune des solutions potentielles n'est égale à la valeur interdite $1$. Elles sont donc toutes valides.

4. Écrire l'ensemble des solutions

L'ensemble des solutions est $S = \left\{-5\,; \frac{3}{2}\right\}$.

L'ensemble des solutions de l'équation $\frac{(2x-3)(x+5)}{x-1} = 0$ est $S = \left\{-5\,; \frac{3}{2}\right\}$.

Oublier les valeurs interdites

Ne pas vérifier que le dénominateur est non nul. C'est une erreur grave car cela peut conduire à inclure des valeurs pour lesquelles l'expression n'est pas définie.
Résoudre $A(x)=0$ et $B(x)=0$ séparément sans comparer les solutions. Il faut exclure les solutions du numérateur qui sont aussi des solutions du dénominateur.
Simplifier l'expression quotient avant de chercher les valeurs interdites. Les valeurs interdites doivent être déterminées sur l'expression initiale.

Exercice type contrôle

Résoudre les équations suivantes :

$\frac{x-4}{x+2} = 0$
$\frac{x^2-9}{x-3} = 0$

Correction de l'exercice

Résolution de $\frac{x-4}{x+2} = 0$ :
1. Valeurs interdites : Le dénominateur $x+2$ ne doit pas être nul.
$x+2 = 0 \iff x = -2$.
La valeur interdite est $x=-2$.
2. Équation du numérateur : Le numérateur $x-4$ doit être nul.
$x-4 = 0 \iff x = 4$.
3. Vérification : La solution $x=4$ n'est pas la valeur interdite $-2$.
4. Ensemble des solutions : $S = \{4\}$.
Résolution de $\frac{x^2-9}{x-3} = 0$ :
1. Valeurs interdites : Le dénominateur $x-3$ ne doit pas être nul.
$x-3 = 0 \iff x = 3$.
La valeur interdite est $x=3$.
2. Équation du numérateur : Le numérateur $x^2-9$ doit être nul.
$x^2-9 = 0$. On reconnaît une identité remarquable $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.
$(x-3)(x+3) = 0$.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul.
$x-3 = 0 \iff x = 3$.
ou
$x+3 = 0 \iff x = -3$.
Les solutions potentielles sont $x=3$ et $x=-3$.
3. Vérification : La solution potentielle $x=3$ est une valeur interdite. Elle doit donc être rejetée.
La solution potentielle $x=-3$ n'est pas une valeur interdite. Elle est donc valide.
4. Ensemble des solutions : $S = \{-3\}$.

Questions fréquentes

Pourquoi doit-on absolument déterminer les valeurs interdites ?

On doit déterminer les valeurs interdites car la division par zéro est indéfinie en mathématiques. Si une valeur de $x$ rend le dénominateur égal à zéro, l'expression $\frac{A(x)}{B(x)}$ n'existe pas pour cette valeur. Par conséquent, cette valeur ne peut pas être une solution de l'équation.

Que se passe-t-il si une solution du numérateur est aussi une valeur interdite ?

Si une solution de $A(x)=0$ est aussi une valeur interdite (c'est-à-dire qu'elle annule aussi $B(x)$), alors cette valeur doit être exclue de l'ensemble des solutions de l'équation quotient. Elle ne peut pas être une solution car l'expression n'est pas définie pour cette valeur.

Peut-on simplifier l'expression avant de résoudre l'équation ?

Il est préférable de déterminer les valeurs interdites sur l'expression originale avant toute simplification. Si vous simplifiez l'expression (par exemple, en divisant le numérateur et le dénominateur par un facteur commun), vous risquez de masquer une valeur interdite. Par exemple, pour $\frac{x(x-1)}{x-1}=0$, la valeur interdite est $x=1$. Si on simplifie en $x=0$, on perd cette information.

Est-ce que toutes les équations quotients sont de la forme $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ ?

Non, une équation quotient peut aussi être de la forme $\frac{A(x)}{B(x)} = C(x)$ ou $\frac{A(x)}{B(x)} = \frac{C(x)}{D(x)}$. Dans ces cas, il faut d'abord ramener l'équation à la forme $\frac{E(x)}{F(x)} = 0$ en regroupant tous les termes d'un côté de l'égalité et en les mettant au même dénominateur. C'est seulement après cette étape qu'on applique la méthode de résolution d'une équation quotient égale à zéro.

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