Nombres et calculs · Fiche N°15 / 80

Résoudre une inéquation du premier degré

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Une inéquation est une inégalité mathématique qui contient une ou plusieurs variables (souvent $x$). Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de la variable qui rendent l'inégalité vraie. L'ensemble de ces solutions est généralement un intervalle ou une réunion d'intervalles de nombres réels.

Bon réflexe : Vérifie toujours le sens de l'inégalité après chaque multiplication ou division par un nombre négatif.

Méthode : Résoudre une inéquation du premier degré

1

Simplifier chaque membre

Développer et réduire les expressions de chaque côté de l'inégalité pour obtenir une forme plus simple, par exemple $ax + b \leq cx + d$.

2

Regrouper les termes

Rassembler tous les termes contenant la variable $x$ dans un membre de l'inégalité, et tous les termes constants dans l'autre membre. On utilise les mêmes règles que pour les équations : ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ne change pas le sens de l'inégalité.

3

Isoler la variable

Diviser (ou multiplier) les deux membres par le coefficient de $x$. Attention : si ce coefficient est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

4

Écrire l'ensemble solution

Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle. Par exemple, $x \leq 3$ correspond à l'intervalle $]-\infty\,;3]$.

Exemple résolu

Résoudre l'inéquation suivante : $3(x - 2) + 5 \geq 2x + 1$.
1
Simplifier chaque membre
On développe le membre de gauche :
$3x - 6 + 5 \geq 2x + 1$
$3x - 1 \geq 2x + 1$
2
Regrouper les termes en $x$ et les constantes
On soustrait $2x$ aux deux membres :
$3x - 2x - 1 \geq 2x - 2x + 1$
$x - 1 \geq 1$
On ajoute $1$ aux deux membres :
$x - 1 + 1 \geq 1 + 1$
$x \geq 2$
3
Isoler la variable
La variable $x$ est déjà isolée. Le coefficient de $x$ est $1$ (positif), donc le sens de l'inégalité ne change pas.
4
Écrire l'ensemble solution
Les solutions sont tous les nombres réels $x$ supérieurs ou égaux à $2$.
L'ensemble solution est l'intervalle $[2\,;+\infty[$.
On peut aussi représenter les solutions sur une droite numérique :
L'ensemble des solutions de l'inéquation $3(x - 2) + 5 \geq 2x + 1$ est $[2\,;+\infty[$.

Oubli de changer le sens de l'inégalité

  1. Lorsqu'on multiplie ou divise les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, il faut impérativement inverser le sens de l'inégalité. Par exemple, si $-2x \lt 6$, alors $x \gt -3$.
  2. Confondre les règles de résolution d'équations et d'inéquations. L'inversion du sens est la seule différence majeure.
  3. Erreur dans la notation de l'intervalle solution, notamment l'inclusion ou l'exclusion des bornes (crochets tournés vers l'intérieur ou l'extérieur).

Exercice type contrôle

Résoudre les inéquations suivantes et donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle :
  1. $5x - 7 \lt 3x + 1$
  2. $2 - 4x \leq 10$
  3. $\frac{x}{3} - 1 \gt \frac{x}{2} + 2$
  1. Résolution de $5x - 7 \lt 3x + 1$ :
    On regroupe les termes en $x$ à gauche et les constantes à droite :
    $5x - 3x \lt 1 + 7$
    $2x \lt 8$
    On divise par $2$ (nombre positif, le sens ne change pas) :
    $x \lt \frac{8}{2}$
    $x \lt 4$
    L'ensemble solution est $]-\infty\,;4[$.
  2. Résolution de $2 - 4x \leq 10$ :
    On soustrait $2$ aux deux membres :
    $-4x \leq 10 - 2$
    $-4x \leq 8$
    On divise par $-4$ (nombre négatif, on change le sens de l'inégalité) :
    $x \geq \frac{8}{-4}$
    $x \geq -2$
    L'ensemble solution est $[-2\,;+\infty[$.
  3. Résolution de $\frac{x}{3} - 1 \gt \frac{x}{2} + 2$ :
    On met les fractions au même dénominateur (le PPCM de $3$ et $2$ est $6$) :
    $\frac{2x}{6} - \frac{6}{6} \gt \frac{3x}{6} + \frac{12}{6}$
    On multiplie tous les termes par $6$ (nombre positif, le sens ne change pas) :
    $2x - 6 \gt 3x + 12$
    On regroupe les termes en $x$ à droite (pour avoir un coefficient positif pour $x$) et les constantes à gauche :
    $-6 - 12 \gt 3x - 2x$
    $-18 \gt x$
    Ce qui est équivalent à $x \lt -18$.
    L'ensemble solution est $]-\infty\,;-18[$.

Questions fréquentes

Pourquoi faut-il changer le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif ?
Imaginez l'inégalité $2 \lt 5$. Si vous multipliez les deux côtés par $-1$, vous obtenez $-2$ et $-5$. Or, $-2$ est plus grand que $-5$. Donc, l'inégalité change de sens : $-2 \gt -5$. C'est une propriété fondamentale des inégalités.
Comment savoir si le crochet de l'intervalle doit être ouvert ou fermé ?
Le crochet est fermé (tourné vers l'intérieur de l'intervalle) si l'inégalité inclut la borne, c'est-à-dire avec $\leq$ ou $\geq$. Par exemple, $x \leq 3$ donne $]-\infty\,;3]$. Le crochet est ouvert (tourné vers l'extérieur) si la borne n'est pas incluse, c'est-à-dire avec $\lt $ ou $\gt $. Par exemple, $x \lt 3$ donne $]-\infty\,;3[$. Les symboles $-\infty$ et $+\infty$ ont toujours des crochets ouverts.
Est-ce que je peux additionner ou soustraire des nombres négatifs sans changer le sens ?
Oui, absolument. Ajouter ou soustraire n'importe quel nombre (positif ou négatif) aux deux membres d'une inéquation ne change jamais le sens de l'inégalité. Le changement de sens ne se produit que lors d'une multiplication ou d'une division par un nombre négatif.
Que faire si l'inéquation n'a pas de solution ou si toutes les valeurs de $x$ sont solutions ?
Si, après simplification, vous arrivez à une inégalité fausse (par exemple $0 \gt 5$), alors l'inéquation n'a aucune solution. L'ensemble solution est l'ensemble vide, noté $\emptyset$. Si vous arrivez à une inégalité toujours vraie (par exemple $0 \leq 5$), alors toutes les valeurs réelles de $x$ sont solutions. L'ensemble solution est $\mathbb{R}$.

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