Évolutions en pourcentage et coefficient multiplicateur – Fiche Maths Seconde

Q: Pourquoi utilise-t-on 1 + \frac{p}{100} et 1 - \frac{p}{100} ?

Quand une quantité augmente de p %, elle devient la quantité initiale plus p % de cette quantité. C'est-à-dire V_i + V_i × \frac{p}{100} = V_i × (1 + \frac{p}{100}). De même pour une diminution, on soustrait p % de la quantité initiale : V_i - V_i × \frac{p}{100} = V_i × (1 - \frac{p}{100}). Le '1' représente la totalité de la valeur initiale.

Q: Comment savoir si c'est une augmentation ou une diminution quand on a le CM ?

Si le coefficient multiplicateur CM \gt 1, c'est une augmentation. Si CM \lt 1, c'est une diminution. Si CM = 1, il n'y a pas eu d'évolution.

Q: Peut-on calculer le pourcentage de variation si on connaît seulement les valeurs initiale et finale ?

Oui, tout à fait. Le taux de variation t = \frac{V_f - V_i}{V_i}. Multipliez le résultat par 100 pour l'avoir en pourcentage. Si t est positif, c'est une augmentation ; s'il est négatif, c'est une diminution.

Définition

Une évolution en pourcentage décrit la variation d'une quantité par rapport à sa valeur initiale. Elle est souvent exprimée par un taux de variation $t$. Un coefficient multiplicateur $CM$ est le nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale après une évolution. Il est très utile pour enchaîner plusieurs évolutions.

Bon réflexe : Toujours passer par le coefficient multiplicateur pour enchaîner des évolutions en pourcentage.

Méthode : Évolutions en pourcentage et coefficient multiplicateur

Calculer le coefficient multiplicateur

Si une quantité subit une augmentation de $p$ %, son coefficient multiplicateur est $CM = 1 + \frac{p}{100}$. Si une quantité subit une diminution de $p$ %, son coefficient multiplicateur est $CM = 1 - \frac{p}{100}$. Dans les deux cas, $p$ est un nombre positif.

Calculer la valeur finale

Pour obtenir la valeur finale $V_f$ à partir de la valeur initiale $V_i$ et du coefficient multiplicateur $CM$, on utilise la formule : $$V_f = V_i × CM$$

Calculer le taux de variation

Le taux de variation $t$ (exprimé sous forme décimale) est donné par la formule : $$t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$$ ou $$t = CM - 1$$ Pour l'exprimer en pourcentage, on multiplie $t$ par $100$.

Enchaîner des évolutions

Si une quantité subit successivement plusieurs évolutions de coefficients multiplicateurs $CM_1$, $CM_2$, ..., $CM_n$, le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit des coefficients multiplicateurs individuels : $$CM_{global} = CM_1 × CM_2 × ... × CM_n$$

Exemple résolu

Un article coûte initialement $120$ €. Son prix augmente de $15$ %, puis diminue de $10$ % lors des soldes. Quel est le prix final de l'article ? Quel est le taux d'évolution global ?

Calculer le coefficient multiplicateur de la première évolution (augmentation)

L'augmentation est de $15$ %. Le coefficient multiplicateur $CM_1$ est : $$CM_1 = 1 + \frac{15}{100} = 1 + 0{,}15 = 1{,}15$$

Calculer le coefficient multiplicateur de la deuxième évolution (diminution)

La diminution est de $10$ %. Le coefficient multiplicateur $CM_2$ est : $$CM_2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - 0{,}10 = 0{,}90$$

Calculer le coefficient multiplicateur global

Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit des coefficients : $$CM_{global} = CM_1 × CM_2 = 1{,}15 × 0{,}90 = 1{,}035$$

Calculer le prix final de l'article

Le prix initial $V_i = 120$ €. Le prix final $V_f$ est : $$V_f = V_i × CM_{global} = 120 × 1{,}035 = 124{,}2$$

Calculer le taux d'évolution global en pourcentage

Le taux de variation global $t_{global}$ est : $$t_{global} = CM_{global} - 1 = 1{,}035 - 1 = 0{,}035$$ En pourcentage, cela représente $0{,}035 × 100 = 3{,}5$ %.

Le prix final de l'article est de $124{,}20$ €. Le taux d'évolution global est une augmentation de $3{,}5$ %.

Ne pas additionner ou soustraire les pourcentages directement

Une augmentation de $15$ % suivie d'une diminution de $10$ % ne correspond PAS à une augmentation de $15 - 10 = 5$ %. Il faut passer par les coefficients multiplicateurs.
Ne pas confondre le pourcentage de variation et la valeur finale. Une augmentation de $10$ % sur $100$ € donne $110$ €, mais une diminution de $10$ % sur $110$ € donne $99$ € (et non $100$ €).
Attention au sens de l'évolution : $1 + \frac{p}{100}$ pour une augmentation, $1 - \frac{p}{100}$ pour une diminution.

Exercice type contrôle

Le chiffre d'affaires d'une entreprise était de $250\,000$ € en 2022.

En 2023, le chiffre d'affaires a augmenté de $8$ %. Calculer le chiffre d'affaires en 2023.
En 2024, à cause d'une conjoncture difficile, le chiffre d'affaires a diminué de $5$ % par rapport à celui de 2023. Calculer le chiffre d'affaires en 2024.
Quel est le taux d'évolution global (en pourcentage) du chiffre d'affaires entre 2022 et 2024 ?

Calcul du chiffre d'affaires en 2023 :
L'augmentation est de $8$ %. Le coefficient multiplicateur $CM_1$ est :
$$CM_1 = 1 + \frac{8}{100} = 1 + 0{,}08 = 1{,}08$$ Le chiffre d'affaires en 2023 est :
$$V_{2023} = V_{2022} × CM_1 = 250\,000 × 1{,}08 = 270\,000$$
Le chiffre d'affaires en 2023 est de $270\,000$ €.
Calcul du chiffre d'affaires en 2024 :
La diminution est de $5$ %. Le coefficient multiplicateur $CM_2$ est :
$$CM_2 = 1 - \frac{5}{100} = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$$ Le chiffre d'affaires en 2024 est :
$$V_{2024} = V_{2023} × CM_2 = 270\,000 × 0{,}95 = 256\,500$$
Le chiffre d'affaires en 2024 est de $256\,500$ €.
Calcul du taux d'évolution global entre 2022 et 2024 :
Le coefficient multiplicateur global $CM_{global}$ est le produit des coefficients :
$$CM_{global} = CM_1 × CM_2 = 1{,}08 × 0{,}95 = 1{,}026$$ Le taux de variation global $t_{global}$ est :
$$t_{global} = CM_{global} - 1 = 1{,}026 - 1 = 0{,}026$$ En pourcentage, cela représente $0{,}026 × 100 = 2{,}6$ %.
Le taux d'évolution global entre 2022 et 2024 est une augmentation de $2{,}6$ %.

Questions fréquentes

Pourquoi utilise-t-on $1 + \frac{p}{100}$ et $1 - \frac{p}{100}$ ?

Quand une quantité augmente de $p$ %, elle devient la quantité initiale plus $p$ % de cette quantité. C'est-à-dire $V_i + V_i × \frac{p}{100} = V_i × (1 + \frac{p}{100})$. De même pour une diminution, on soustrait $p$ % de la quantité initiale : $V_i - V_i × \frac{p}{100} = V_i × (1 - \frac{p}{100})$. Le '1' représente la totalité de la valeur initiale.

Comment savoir si c'est une augmentation ou une diminution quand on a le CM ?

Si le coefficient multiplicateur $CM \gt 1$, c'est une augmentation. Si $CM \lt 1$, c'est une diminution. Si $CM = 1$, il n'y a pas eu d'évolution.

Peut-on calculer le pourcentage de variation si on connaît seulement les valeurs initiale et finale ?

Oui, tout à fait. Le taux de variation $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$. Multipliez le résultat par $100$ pour l'avoir en pourcentage. Si $t$ est positif, c'est une augmentation ; s'il est négatif, c'est une diminution.

À quoi sert le coefficient multiplicateur si je peux calculer directement la valeur finale ?

Le coefficient multiplicateur est particulièrement utile pour enchaîner plusieurs évolutions successives. Au lieu de calculer des valeurs intermédiaires, on multiplie simplement les coefficients multiplicateurs pour trouver le coefficient global, ce qui simplifie les calculs et réduit les risques d'erreur d'arrondi.

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