Définition
Une proportion est une part d'un ensemble. Elle s'exprime sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. Si un ensemble $E$ contient $N$ éléments et qu'une partie $A$ de cet ensemble contient $n$ éléments, alors la proportion de $A$ dans $E$ est $p = \frac{n}{N}$.
Un pourcentage est une proportion exprimée sur une base de $100$. Pour convertir une proportion $p$ en pourcentage, on multiplie $p$ par $100$.
Bon réflexe : Toujours vérifier que le pourcentage est bien appliqué à la bonne quantité de référence.
Méthode : Proportion et pourcentage
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Calculer une proportion
Pour calculer la proportion d'une partie dans un ensemble, on utilise la formule : $$p = \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif total}}$$ Le résultat peut être une fraction irréductible ou un nombre décimal.
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Exprimer une proportion en pourcentage
Pour exprimer une proportion $p$ en pourcentage, on multiplie la proportion par $100$ : $$\text{Pourcentage} = p \times 100$$
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Calculer une quantité à partir d'un pourcentage
Pour calculer la valeur d'une partie connaissant le pourcentage $t\%$ et l'effectif total $N$, on utilise la formule : $$\text{Partie} = N \times \frac{t}{100}$$
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Calculer un pourcentage de pourcentage
Si une proportion $p_1$ est extraite d'un ensemble, et qu'une proportion $p_2$ est extraite de cette première proportion, alors la proportion finale par rapport à l'ensemble initial est le produit des proportions : $$p = p_1 \times p_2$$
Exemple résolu
Dans un lycée de $1200$ élèves, $450$ élèves sont en Seconde. Parmi les élèves de Seconde, $60\%$ pratiquent une activité sportive.
1
Calculer la proportion d'élèves de Seconde dans le lycée.
L'effectif total est $N = 1200$. L'effectif des élèves de Seconde est $n = 450$.
La proportion est $p = \frac{n}{N} = \frac{450}{1200}$.
Simplifions la fraction : $p = \frac{45}{120} = \frac{9 \times 5}{24 \times 5} = \frac{9}{24} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{3}{8}$.
En décimal : $p = 0{,}375$.
La proportion est $p = \frac{n}{N} = \frac{450}{1200}$.
Simplifions la fraction : $p = \frac{45}{120} = \frac{9 \times 5}{24 \times 5} = \frac{9}{24} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{3}{8}$.
En décimal : $p = 0{,}375$.
2
Exprimer cette proportion en pourcentage.
La proportion est $p = 0{,}375$.
En pourcentage : $0{,}375 \times 100 = 37{,}5\%$.
Donc, $37{,}5\%$ des élèves du lycée sont en Seconde.
En pourcentage : $0{,}375 \times 100 = 37{,}5\%$.
Donc, $37{,}5\%$ des élèves du lycée sont en Seconde.
3
Calculer le nombre d'élèves de Seconde qui pratiquent une activité sportive.
Il y a $450$ élèves de Seconde. $60\%$ d'entre eux pratiquent une activité sportive.
Nombre d'élèves sportifs = $450 \times \frac{60}{100} = 450 \times 0{,}6 = 270$.
Donc, $270$ élèves de Seconde pratiquent une activité sportive.
Nombre d'élèves sportifs = $450 \times \frac{60}{100} = 450 \times 0{,}6 = 270$.
Donc, $270$ élèves de Seconde pratiquent une activité sportive.
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Calculer la proportion d'élèves de Seconde sportifs par rapport à l'ensemble du lycée.
La proportion d'élèves de Seconde est $p_1 = \frac{3}{8}$.
La proportion d'élèves sportifs parmi les Seconde est $p_2 = \frac{60}{100} = 0{,}6$.
La proportion d'élèves de Seconde sportifs dans le lycée est $p = p_1 \times p_2 = \frac{3}{8} \times 0{,}6 = 0{,}375 \times 0{,}6 = 0{,}225$.
En pourcentage : $0{,}225 \times 100 = 22{,}5\%$.
On peut aussi calculer $\frac{270}{1200} = \frac{27}{120} = \frac{9}{40} = 0{,}225$.
La proportion d'élèves sportifs parmi les Seconde est $p_2 = \frac{60}{100} = 0{,}6$.
La proportion d'élèves de Seconde sportifs dans le lycée est $p = p_1 \times p_2 = \frac{3}{8} \times 0{,}6 = 0{,}375 \times 0{,}6 = 0{,}225$.
En pourcentage : $0{,}225 \times 100 = 22{,}5\%$.
On peut aussi calculer $\frac{270}{1200} = \frac{27}{120} = \frac{9}{40} = 0{,}225$.
Dans ce lycée, $37{,}5\%$ des élèves sont en Seconde. Parmi eux, $270$ pratiquent une activité sportive, ce qui représente $22{,}5\%$ de l'ensemble des élèves du lycée.
Confondre proportion et effectif
- Ne pas distinguer la proportion (un rapport) de la quantité (un nombre d'éléments). Par exemple, $20\%$ des élèves n'est pas un nombre d'élèves, mais une part.
- Oublier de convertir un pourcentage en nombre décimal (en divisant par $100$) avant de l'utiliser dans un calcul. Par exemple, $25\%$ doit être écrit $0{,}25$ ou $\frac{25}{100}$ dans une multiplication.
- Additionner des pourcentages qui ne portent pas sur le même ensemble de référence. Par exemple, si $10\%$ des hommes et $20\%$ des femmes aiment le chocolat, on ne peut pas dire que $30\%$ des personnes aiment le chocolat sans connaître la proportion d'hommes et de femmes dans l'échantillon.
Exercice type contrôle
Dans une classe de Seconde, il y a $30$ élèves. Lors d'un sondage, $12$ élèves ont déclaré préférer les mathématiques, $9$ élèves ont préféré la physique-chimie et le reste a préféré l'histoire-géographie.- Calculer la proportion d'élèves préférant les mathématiques dans cette classe. Exprimer le résultat en pourcentage.
- Calculer le nombre d'élèves préférant l'histoire-géographie.
- Quelle est la proportion d'élèves préférant l'histoire-géographie par rapport à l'ensemble de la classe ? Exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible et en pourcentage.
- Proportion d'élèves préférant les mathématiques :
Effectif total de la classe : $N = 30$.
Nombre d'élèves préférant les mathématiques : $n = 12$.
Proportion $p = \frac{n}{N} = \frac{12}{30}$.
Simplification de la fraction : $p = \frac{2 \times 6}{5 \times 6} = \frac{2}{5}$.
En pourcentage : $p \times 100 = \frac{2}{5} \times 100 = 0{,}4 \times 100 = 40\%$.
La proportion d'élèves préférant les mathématiques est de $40\%$. - Nombre d'élèves préférant l'histoire-géographie :
Nombre total d'élèves : $30$.
Nombre d'élèves préférant les mathématiques : $12$.
Nombre d'élèves préférant la physique-chimie : $9$.
Nombre d'élèves préférant l'histoire-géographie = $30 - (12 + 9) = 30 - 21 = 9$.
Il y a $9$ élèves qui préfèrent l'histoire-géographie. - Proportion d'élèves préférant l'histoire-géographie :
Nombre d'élèves préférant l'histoire-géographie : $9$.
Effectif total de la classe : $30$.
Proportion $p = \frac{9}{30}$.
Simplification de la fraction : $p = \frac{3 \times 3}{10 \times 3} = \frac{3}{10}$.
En pourcentage : $p \times 100 = \frac{3}{10} \times 100 = 0{,}3 \times 100 = 30\%$.
La proportion d'élèves préférant l'histoire-géographie est de $\frac{3}{10}$, soit $30\%$.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une proportion et une fréquence ?
En mathématiques, les termes 'proportion' et 'fréquence' sont souvent utilisés de manière interchangeable, surtout en Seconde. La fréquence est généralement associée aux statistiques pour décrire la part d'une modalité dans une série de données, tandis que la proportion est un terme plus général. Le calcul est le même : $\frac{\text{effectif partiel}}{\text{effectif total}}$.
Comment calculer un pourcentage d'augmentation ou de diminution ?
Pour une augmentation, le nouveau prix $P'$ est $P' = P \times (1 + \frac{t}{100})$, où $t$ est le pourcentage d'augmentation. Pour une diminution, $P' = P \times (1 - \frac{t}{100})$. Le coefficient multiplicateur est $1 + \frac{t}{100}$ ou $1 - \frac{t}{100}$.
Peut-on avoir une proportion supérieure à $1$ ou un pourcentage supérieur à $100\%$ ?
Pour une proportion représentant une partie d'un ensemble (le sujet principal de cette fiche), la valeur est en effet toujours comprise entre 0 et 1, soit 0% et 100%. Cependant, il est important de noter que dans d'autres contextes, comme le calcul d'un taux d'évolution, un pourcentage peut être supérieur à 100%. Par exemple, si un prix double, il a augmenté de 100%, et le nouveau prix représente 200% de l'ancien. Il faut donc toujours bien analyser le contexte avant de conclure à une erreur.
Quand faut-il arrondir les pourcentages ?
Il faut arrondir les pourcentages uniquement si l'énoncé le demande, et à la précision spécifiée (par exemple, au dixième, au centième). Sinon, il est préférable de garder les valeurs exactes (fractions ou décimales non arrondies) pour les calculs intermédiaires afin d'éviter les erreurs d'arrondi cumulées.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.