Nombres et calculs · Fiche N°16 / 80

Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de plusieurs expressions, on utilise un tableau de signes. Ce tableau permet de déterminer sur quels intervalles l'expression est positive, négative ou nulle. La règle des signes s'applique : le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est positif, et de signes contraires est négatif.

Bon réflexe : Toujours vérifier les valeurs critiques et l'ordre des signes pour chaque facteur avant de conclure sur le signe du produit ou du quotient.

Méthode : Tableau de signes d'un produit ou d'un quotient

1

Étape 1 : Déterminer les valeurs qui annulent chaque facteur

Pour chaque expression de la forme $ax+b$ (ou $x-a$), résoudre l'équation $ax+b=0$ pour trouver la valeur de $x$ qui l'annule. Ces valeurs sont appelées les 'valeurs critiques'.

2

Étape 2 : Organiser les valeurs critiques sur une ligne numérique

Dans la première ligne du tableau, placer les valeurs critiques trouvées dans l'ordre croissant. Ajouter $-\infty$ et $+\infty$ aux extrémités.

3

Étape 3 : Étudier le signe de chaque facteur

Pour chaque facteur $ax+b$, déterminer son signe sur chaque intervalle. Un facteur $ax+b$ est nul en $x = -b/a$. Si $a\gt 0$, le facteur est négatif avant $-b/a$ et positif après. Si $a\lt 0$, le facteur est positif avant $-b/a$ et négatif après.

4

Étape 4 : Appliquer la règle des signes pour le produit/quotient

Dans la dernière ligne du tableau, multiplier (ou diviser) les signes de chaque facteur sur chaque intervalle pour obtenir le signe de l'expression globale. Ne pas oublier de marquer les valeurs interdites par une double barre pour un quotient.

Exemple résolu

Étudier le signe de l'expression $A(x) = (2x-4)(-x+3)$.
1
Déterminer les valeurs qui annulent chaque facteur.
  • Pour le premier facteur $2x-4$: $2x-4=0 \implies 2x=4 \implies x=2$.
  • Pour le second facteur $-x+3$: $-x+3=0 \implies -x=-3 \implies x=3$.
2
Organiser les valeurs critiques dans le tableau.
Les valeurs critiques sont $2$ et $3$. On les place dans l'ordre croissant sur la ligne des $x$.
3
Étudier le signe de chaque facteur.
  • Pour $2x-4$: le coefficient de $x$ est $2$ (positif). Le facteur est négatif avant $2$ et positif après.
  • Pour $-x+3$: le coefficient de $x$ est $-1$ (négatif). Le facteur est positif avant $3$ et négatif après.
4
Appliquer la règle des signes pour le produit.
x−∞23+∞Signe de 2x−40−++Signe de −x+30++−Signe de A(x)00−+−
L'expression $A(x)$ est négative sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]3\,;+\infty[$, et positive sur $]2\,;3[$. Elle est nulle en $x=2$ et en $x=3$.

Piège fréquent : Valeurs interdites dans un quotient

  1. Oublier de marquer une double barre (valeur interdite) pour les valeurs de $x$ qui annulent le dénominateur d'un quotient. À ces valeurs, l'expression n'est pas définie.
  2. Confondre le signe d'un facteur $ax+b$ quand $a\gt 0$ et quand $a\lt 0$. Si $a\gt 0$, c'est 'moins, zéro, plus'. Si $a\lt 0$, c'est 'plus, zéro, moins'.
  3. Faire une erreur de calcul en résolvant $ax+b=0$ pour trouver la valeur critique.

Exercice type contrôle

On considère l'expression $B(x) = \frac{x+1}{5-x}$.
  1. Déterminer les valeurs de $x$ qui annulent le numérateur et le dénominateur.
  2. Construire le tableau de signes de $B(x)$.
  3. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $B(x) \geq 0$.
    • Pour le numérateur $x+1$: $x+1=0 \implies x=-1$.
    • Pour le dénominateur $5-x$: $5-x=0 \implies -x=-5 \implies x=5$.
  2. x−∞−15+∞Signe de x+10−++Signe de 5−x0++−Signe de B(x)0−+−
  3. L'inéquation $B(x) \geq 0$ signifie que $B(x)$ est positive ou nulle. D'après le tableau de signes, $B(x)$ est positive sur $]-1\,;5[$. Elle est nulle en $x=-1$. La valeur $x=5$ est une valeur interdite, donc on exclut $5$. L'ensemble des solutions est donc $[-1\,;5[$.

Questions fréquentes

Pourquoi met-on une double barre dans le tableau de signes pour un quotient ?
La double barre indique une valeur interdite. Pour un quotient $\frac{N(x)}{D(x)}$, le dénominateur $D(x)$ ne doit jamais être nul. Si $D(x)=0$, l'expression n'est pas définie, on ne peut pas calculer sa valeur, et donc elle n'a pas de signe à cet endroit.
Comment savoir si un facteur $ax+b$ est positif ou négatif ?
Le signe d'un facteur $ax+b$ dépend du signe de $a$ et de la valeur de $x$ par rapport à la racine $-b/a$. Si $a\gt 0$, le facteur est négatif avant $-b/a$ et positif après. Si $a\lt 0$, le facteur est positif avant $-b/a$ et négatif après. On dit que le signe est celui de $a$ 'après la racine'.
Peut-on faire un tableau de signes pour une somme ou une différence ?
Non, le tableau de signes s'applique uniquement aux produits et aux quotients. Pour une somme ou une différence, il faut d'abord factoriser l'expression si possible pour la transformer en produit, ou bien étudier la fonction associée (ce qui est vu en Première).
Que faire si j'ai plus de deux facteurs ?
La méthode reste la même. Il suffit d'ajouter une ligne par facteur dans le tableau de signes. La règle des signes s'applique alors à tous les facteurs : un nombre impair de signes 'moins' donne un résultat négatif, un nombre pair de signes 'moins' donne un résultat positif.

Pour aller plus loin

Le passage en Seconde est difficile ?

Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.

06 20 13 00 82 Cours de maths en Seconde →