Nombres et calculs · Fiche N°3 / 80

Valeur absolue et distance entre deux réels

Définition, méthode pas à pas, exemple corrigé et exercice type contrôle de Seconde.

Maths Seconde Lecture : 5 min Programme officiel 2019

Définition

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$, est la distance entre ce nombre et zéro sur la droite numérique. Elle est toujours positive ou nulle.
Plus formellement :

  • Si $x \geq 0$, alors $|x| = x$.
  • Si $x \lt 0$, alors $|x| = -x$.
La distance entre deux nombres réels $a$ et $b$ est la valeur absolue de leur différence, notée $|a-b|$ ou $|b-a|$. Elle représente la longueur du segment $[a\,;b]$ sur la droite numérique.

-3-2-1012345a = −1b = 3|b − a| = |3 − (−1)| = 4
La distance entre deux réels a et b est |b − a| : ici 4.
Bon réflexe : Pense toujours à la droite numérique : la valeur absolue est une distance à zéro, et $|a-b|$ est la distance entre $a$ et $b$.

Méthode : Valeur absolue et distance entre deux réels

1

Calculer une valeur absolue

Pour calculer $|x|$, on détermine d'abord le signe de $x$. Si $x$ est positif ou nul, $|x|$ est égal à $x$. Si $x$ est négatif, $|x|$ est égal à son opposé $-x$ (qui est alors positif).

2

Calculer une distance

Pour calculer la distance entre $a$ et $b$, on calcule la différence $a-b$ (ou $b-a$), puis on prend la valeur absolue du résultat. La distance est toujours positive ou nulle.

3

Résoudre une équation du type $|x|=k$

Si $k \lt 0$, l'équation n'a pas de solution car une valeur absolue est toujours positive ou nulle. Si $k \geq 0$, l'équation $|x|=k$ a deux solutions : $x=k$ ou $x=-k$. En effet, les nombres $k$ et $-k$ sont à une distance $k$ de zéro.

4

Résoudre une équation du type $|x-a|=k$

Si $k \lt 0$, pas de solution. Si $k \geq 0$, l'équation $|x-a|=k$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est égale à $k$. Les solutions sont $x-a=k$ ou $x-a=-k$, ce qui donne $x=a+k$ ou $x=a-k$.

Exemple résolu

Calculer des valeurs absolues, des distances et résoudre une équation.
1
Calculer $|-7|$
Puisque $-7 \lt 0$, on prend l'opposé de $-7$. Donc $|-7| = -(-7) = 7$.
2
Calculer $|3 - 8|$
On calcule d'abord la différence : $3 - 8 = -5$. Ensuite, on prend la valeur absolue : $|-5| = 5$.
3
Calculer la distance entre $-2$ et $5$
La distance est $|5 - (-2)| = |5 + 2| = |7| = 7$. Ou bien $|-2 - 5| = |-7| = 7$.
4
Résoudre l'équation $|x| = 4$
L'équation $|x|=4$ signifie que $x$ est à une distance de $4$ de zéro. Les solutions sont $x=4$ ou $x=-4$.
5
Résoudre l'équation $|x-3| = 2$
L'équation $|x-3|=2$ signifie que la distance entre $x$ et $3$ est égale à $2$.
Donc $x-3=2$ ou $x-3=-2$.
Si $x-3=2$, alors $x=2+3=5$.
Si $x-3=-2$, alors $x=-2+3=1$.
Les solutions de l'équation $|x-3|=2$ sont $1$ et $5$.

Confondre valeur absolue et parenthèses

  1. Ne pas oublier que la valeur absolue rend toujours le résultat positif ou nul. Par exemple, $|-5| = 5$, et non $-5$.
  2. Ne pas distribuer la valeur absolue : $|a+b| \neq |a|+|b|$ en général. Par exemple, $|-3+2| = |-1|=1$, mais $|-3|+|2|=3+2=5$.
  3. Penser que $|x^2| = x^2$ est toujours vrai, car $x^2$ est toujours positif ou nul. Mais $|x| = x$ n'est vrai que si $x \geq 0$.

Exercice type contrôle

  1. Calculer les valeurs suivantes :
    • a) $|-12|$
    • b) $|4 - 9|$
    • c) La distance entre $-5$ et $3$.
  2. Résoudre les équations suivantes :
    • a) $|x| = 6$
    • b) $|x+1| = 4$
    • a) $|-12|$ : Puisque $-12 \lt 0$, on prend l'opposé de $-12$. Donc $|-12| = -(-12) = 12$.
    • b) $|4 - 9|$ : On calcule d'abord la différence : $4 - 9 = -5$. Ensuite, on prend la valeur absolue : $|-5| = 5$.
    • c) La distance entre $-5$ et $3$ : La distance est $|3 - (-5)| = |3 + 5| = |8| = 8$. (Ou bien $|-5 - 3| = |-8| = 8$).
    • a) $|x| = 6$ : L'équation signifie que $x$ est à une distance de $6$ de zéro. Les solutions sont $x=6$ ou $x=-6$.
    • b) $|x+1| = 4$ : L'équation peut s'écrire $|x - (-1)| = 4$. Elle signifie que la distance entre $x$ et $-1$ est égale à $4$.
      Donc $x+1=4$ ou $x+1=-4$.
      Si $x+1=4$, alors $x=4-1=3$.
      Si $x+1=-4$, alors $x=-4-1=-5$.
      Les solutions sont $3$ et $-5$.

Questions fréquentes

Pourquoi la valeur absolue d'un nombre négatif est-elle positive ?
La valeur absolue représente une distance. Une distance est toujours une mesure positive ou nulle. Par exemple, la distance entre $-5$ et $0$ sur une droite numérique est de $5$ unités, d'où $|-5|=5$.
Y a-t-il une différence entre $|a-b|$ et $|b-a|$ ?
Non, il n'y a aucune différence. En effet, $a-b$ et $b-a$ sont des nombres opposés : $b-a = -(a-b)$. Puisque $|-x|=|x|$, on a bien $|b-a| = |-(a-b)| = |a-b|$. La distance entre $a$ et $b$ est la même que la distance entre $b$ et $a$.
Comment interpréter graphiquement $|x-a| \leq k$ ?
L'inéquation $|x-a| \leq k$ signifie que la distance entre $x$ et $a$ est inférieure ou égale à $k$. Sur la droite numérique, cela correspond à tous les nombres $x$ qui se trouvent dans l'intervalle $[a-k\,; a+k]$. C'est l'intervalle centré en $a$ de rayon $k$.
La valeur absolue est-elle une fonction ?
Oui, la valeur absolue est une fonction, appelée fonction valeur absolue. Elle est définie par $f(x) = |x|$. Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (c'est une fonction paire) et forme un 'V' dont le sommet est à l'origine $(0\,;0)$.

Pour aller plus loin

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