Notation scientifique et ordres de grandeur – Fiche Maths Seconde

Q: Pourquoi a doit-il être entre 1 et 10 (exclu) ?

Cette convention (1 \leq |a| \lt 10) permet d'avoir une écriture unique pour chaque nombre. Si a pouvait être 0{,}5 ou 12, il y aurait plusieurs façons d'écrire un même nombre en notation scientifique, ce qui irait à l'encontre de l'objectif de standardisation.

Q: Comment savoir si l'exposant est positif ou négatif ?

Si le nombre de départ est 'grand' (supérieur à 10), l'exposant est positif (ex: 5000 = 5 \times 10^3). Si le nombre de départ est 'petit' (entre 0 et 1), l'exposant est négatif (ex: 0{,}005 = 5 \times 10^{-3}). Si le nombre est négatif, le signe de a est négatif, mais le signe de l'exposant suit la même règle pour la valeur absolue du nombre.

Q: Est-ce que 10^0 est une puissance de 10 ?

Oui, 10^0 = 1. Par exemple, 4{,}2 peut être écrit en notation scientifique comme 4{,}2 \times 10^0. Son ordre de grandeur est 10^0 = 1 car 4{,}2 \lt 5.

Définition

La notation scientifique d'un nombre décimal non nul est son écriture sous la forme $a \times 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leq |a| \lt 10$ (c'est-à-dire $a$ a un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ est un entier relatif. L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 qui donne une idée de sa taille. Par convention, on compare le nombre $a$ de la notation scientifique à $5$: si $a \lt 5$, l'ordre de grandeur est $10^n$; si $a \geq 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.

Bon réflexe : Toujours vérifier que le nombre $a$ de la notation scientifique est bien compris entre $1$ et $10$ (exclu) en valeur absolue.

Méthode : Notation scientifique et ordres de grandeur

Écrire en notation scientifique

Déplacer la virgule pour obtenir un nombre $a$ avec un seul chiffre non nul avant la virgule ($1 \leq |a| \lt 10$). Le nombre de décalages de la virgule donne l'exposant $n$ de $10^n$. Si la virgule a été déplacée vers la gauche, $n$ est positif. Si elle a été déplacée vers la droite, $n$ est négatif.

Déterminer l'ordre de grandeur

À partir de la notation scientifique $a \times 10^n$, comparer $a$ à $5$. Si $a \lt 5$, l'ordre de grandeur est $10^n$. Si $a \geq 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$.

Calculer avec des notations scientifiques

Pour multiplier ou diviser, regrouper les nombres $a$ entre eux et les puissances de $10$ entre elles. Utiliser les propriétés des puissances : $10^m \times 10^p = 10^{m+p}$ et $\frac{10^m}{10^p} = 10^{m-p}$. Pour additionner ou soustraire, il faut que les puissances de $10$ soient les mêmes.

Exemple résolu

Écrire le nombre $0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,91$ (masse d'un électron en kg, environ) en notation scientifique et donner son ordre de grandeur. Effectuer ensuite le calcul $A = (2{,}5 \times 10^3) \times (4 \times 10^{-7})$.

Écrire $0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,91$ en notation scientifique

Le nombre est $0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,91$. Pour avoir un seul chiffre non nul avant la virgule, on doit placer la virgule après le $9$. On obtient $9{,}1$.
La virgule a été déplacée de $31$ rangs vers la droite. L'exposant est donc $-31$.
La notation scientifique est $9{,}1 \times 10^{-31}$.

Déterminer l'ordre de grandeur de $9{,}1 \times 10^{-31}$

Le nombre $a$ est $9{,}1$. On compare $9{,}1$ à $5$. Puisque $9{,}1 \geq 5$, l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$. Ici $n = -31$, donc $n+1 = -31+1 = -30$.
L'ordre de grandeur est $10^{-30}$.

Calculer $A = (2{,}5 \times 10^3) \times (4 \times 10^{-7})$

On regroupe les nombres et les puissances de $10$:
$A = (2{,}5 \times 4) \times (10^3 \times 10^{-7})$
$A = 10 \times 10^{3+(-7)}$
$A = 10 \times 10^{-4}$
$A = 10^1 \times 10^{-4}$
$A = 10^{1-4}$
$A = 10^{-3}$.

La masse de l'électron est $9{,}1 \times 10^{-31}$ kg, son ordre de grandeur est $10^{-30}$ kg. Le résultat du calcul $A$ est $10^{-3}$.

Erreurs courantes avec la notation scientifique

Oublier que $a$ doit être tel que $1 \leq |a| \lt 10$. Par exemple, $25 \times 10^3$ n'est pas une notation scientifique, il faut l'écrire $2{,}5 \times 10^4$.
Confondre le sens du déplacement de la virgule et le signe de l'exposant. Un grand nombre positif a un exposant positif (ex: $1230 = 1{,}23 \times 10^3$), un petit nombre positif a un exposant négatif (ex: $0{,}00123 = 1{,}23 \times 10^{-3}$).
Mal calculer l'ordre de grandeur en oubliant de comparer $a$ à $5$. Par exemple, pour $8 \times 10^2$, l'ordre de grandeur est $10^3$ et non $10^2$ car $8 \geq 5$.

Exercice type contrôle

Un globule rouge a un diamètre d'environ $7{,}5 \times 10^{-6}$ mètres. La distance Terre-Lune est d'environ $384\,000$ kilomètres.

Écrire la distance Terre-Lune en mètres et en notation scientifique.
Donner l'ordre de grandeur de la distance Terre-Lune en mètres.
Combien de globules rouges, mis bout à bout, faudrait-il pour couvrir la distance Terre-Lune ? Donner le résultat en notation scientifique.

Pour écrire la distance Terre-Lune en mètres et en notation scientifique :
La distance est $384\,000$ kilomètres. On sait que $1$ km $= 1000$ m $= 10^3$ m.
Donc $384\,000$ km $= 384\,000 \times 10^3$ m.
Pour la notation scientifique, on déplace la virgule de $384\,000$ pour obtenir $3{,}84$. La virgule a été déplacée de $5$ rangs vers la gauche, donc $384\,000 = 3{,}84 \times 10^5$.
Ainsi, la distance Terre-Lune est $3{,}84 \times 10^5 \times 10^3$ m $= 3{,}84 \times 10^{5+3}$ m $= 3{,}84 \times 10^8$ m.
Pour donner l'ordre de grandeur de la distance Terre-Lune :
La notation scientifique est $3{,}84 \times 10^8$. Le nombre $a = 3{,}84$.
Puisque $3{,}84 \lt 5$, l'ordre de grandeur est $10^8$.
Pour calculer le nombre de globules rouges :
Distance Terre-Lune : $3{,}84 \times 10^8$ m.
Diamètre d'un globule rouge : $7{,}5 \times 10^{-6}$ m.
Nombre de globules rouges $= \frac{\text{Distance Terre-Lune}}{\text{Diamètre d'un globule rouge}}$
Nombre $= \frac{3{,}84 \times 10^8}{7{,}5 \times 10^{-6}}$
Nombre $= \frac{3{,}84}{7{,}5} \times \frac{10^8}{10^{-6}}$
Nombre $= 0{,}512 \times 10^{8-(-6)}$
Nombre $= 0{,}512 \times 10^{8+6}$
Nombre $= 0{,}512 \times 10^{14}$
Pour l'écrire en notation scientifique, on déplace la virgule de $0{,}512$ d'un rang vers la droite pour obtenir $5{,}12$. L'exposant devient $14-1=13$.
Nombre $= 5{,}12 \times 10^{13}$.
Il faudrait environ $5{,}12 \times 10^{13}$ globules rouges pour couvrir la distance Terre-Lune.

Questions fréquentes

Pourquoi $a$ doit-il être entre $1$ et $10$ (exclu) ?

Cette convention ($1 \leq |a| \lt 10$) permet d'avoir une écriture unique pour chaque nombre. Si $a$ pouvait être $0{,}5$ ou $12$, il y aurait plusieurs façons d'écrire un même nombre en notation scientifique, ce qui irait à l'encontre de l'objectif de standardisation.

Comment savoir si l'exposant est positif ou négatif ?

Si le nombre de départ est 'grand' (supérieur à $10$), l'exposant est positif (ex: $5000 = 5 \times 10^3$). Si le nombre de départ est 'petit' (entre $0$ et $1$), l'exposant est négatif (ex: $0{,}005 = 5 \times 10^{-3}$). Si le nombre est négatif, le signe de $a$ est négatif, mais le signe de l'exposant suit la même règle pour la valeur absolue du nombre.

Est-ce que $10^0$ est une puissance de $10$ ?

Oui, $10^0 = 1$. Par exemple, $4{,}2$ peut être écrit en notation scientifique comme $4{,}2 \times 10^0$. Son ordre de grandeur est $10^0 = 1$ car $4{,}2 \lt 5$.

Pourquoi l'ordre de grandeur est $10^{n+1}$ si $a \geq 5$ ?

C'est une convention d'arrondi, simple à appliquer : on compare $a$ à $5$, le milieu entre $1$ et $10$. Elle donne le plus souvent la puissance de $10$ la plus proche : $8 \times 10^2 = 800$ est bien plus proche de $1000$ que de $100$. Pour $a$ compris entre $5$ et $5{,}5$, ce n'est pas exactement le cas (500 est plus proche de 100 que de 1000), mais la convention reste $10^{n+1}$.

Pour aller plus loin

Le passage en Seconde est difficile ?

Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.

06 20 13 00 82 Cours de maths en Seconde →