Définition
Pour tout nombre réel $a$ non nul et tout entier relatif $n$, la puissance $n$-ième de $a$ est notée $a^n$. Elle est définie par :
- Si $n \gt 0$, $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ fois).
- Si $n = 0$, $a^0 = 1$.
- Si $n \lt 0$, $a^n = \frac{1}{a^{-n}}$. Par exemple, $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$.
- Produit : $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- Quotient : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Puissance de puissance : $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- Puissance d'un produit : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$
- Puissance d'un quotient : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
Bon réflexe : Toujours vérifier si les bases sont identiques avant d'appliquer les règles de multiplication ou de division des puissances.
Méthode : Puissances entières : règles de calcul
1
Identifier les bases et les exposants
Avant tout calcul, repérer les nombres qui sont élevés à une puissance (les bases) et les entiers qui indiquent la puissance (les exposants). S'assurer que les bases sont non nulles.
2
Appliquer la règle appropriée
Selon l'opération (produit, quotient, puissance de puissance, etc.), choisir la règle de calcul des puissances qui s'applique. Par exemple, pour $2^3 \times 2^5$, on utilise $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
3
Simplifier les exposants
Effectuer les additions, soustractions ou multiplications sur les exposants. Par exemple, $2^{3+5} = 2^8$.
4
Calculer la valeur finale (si demandé)
Si l'énoncé demande une valeur numérique, calculer la puissance obtenue. Sinon, laisser le résultat sous forme de puissance. Par exemple, $2^8 = 256$.
Exemple résolu
Simplifier l'expression suivante et donner le résultat sous forme d'une seule puissance : $A = \frac{(3^2 \times 3^{-5})^3}{3^4}$.
1
Simplifier le produit dans la parenthèse
On utilise la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :
$3^2 \times 3^{-5} = 3^{2+(-5)} = 3^{2-5} = 3^{-3}$
$3^2 \times 3^{-5} = 3^{2+(-5)} = 3^{2-5} = 3^{-3}$
2
Appliquer la puissance à l'expression simplifiée
L'expression devient $(3^{-3})^3$. On utilise la règle $(a^m)^n = a^{m \times n}$ :
$(3^{-3})^3 = 3^{-3 \times 3} = 3^{-9}$
$(3^{-3})^3 = 3^{-3 \times 3} = 3^{-9}$
3
Simplifier le quotient
L'expression est maintenant $\frac{3^{-9}}{3^4}$. On utilise la règle $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :
$\frac{3^{-9}}{3^4} = 3^{-9-4} = 3^{-13}$
$\frac{3^{-9}}{3^4} = 3^{-9-4} = 3^{-13}$
Le résultat simplifié est $A = 3^{-13}$.
Confondre les règles ou les bases
- Ne pas appliquer la bonne règle : par exemple, penser que $a^m \times b^n = (a \times b)^{m+n}$ alors que les bases sont différentes. La règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ne s'applique que si les bases sont identiques.
- Oublier que $a^0 = 1$ pour tout $a \neq 0$. Par exemple, $5^0 = 1$, pas $0$ ou $5$.
- Faire des erreurs de signe avec les exposants négatifs : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, et non $-a^n$ ou $a^n$. Par exemple, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, et non $-8$.
- Confondre $(a+b)^n$ et $a^n+b^n$. Ces expressions sont différentes. Par exemple, $(2+3)^2 = 5^2 = 25$, mais $2^2+3^2 = 4+9 = 13$.
Exercice type contrôle
Simplifier les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme d'une puissance unique ou d'un nombre entier :- $B = (2^3 \times 2^{-1})^2 \times 2^5$
- $C = \frac{5^7 \times (5^2)^{-3}}{5^{-4}}$
- $D = \frac{(10^3)^2 \times 10^{-7}}{10^0 \times 10^2}$
- Pour $B = (2^3 \times 2^{-1})^2 \times 2^5$ :
D'abord, simplifions l'intérieur de la parenthèse en utilisant $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :
$2^3 \times 2^{-1} = 2^{3+(-1)} = 2^{3-1} = 2^2$
L'expression devient $(2^2)^2 \times 2^5$.
Ensuite, appliquons la puissance de puissance avec $(a^m)^n = a^{m \times n}$ :
$(2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4$
L'expression est maintenant $2^4 \times 2^5$.
Enfin, utilisons à nouveau $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :
$2^4 \times 2^5 = 2^{4+5} = 2^9$
Donc, $B = 2^9 = 512$. - Pour $C = \frac{5^7 \times (5^2)^{-3}}{5^{-4}}$ :
Commençons par simplifier $(5^2)^{-3}$ en utilisant $(a^m)^n = a^{m \times n}$ :
$(5^2)^{-3} = 5^{2 \times (-3)} = 5^{-6}$
L'expression devient $C = \frac{5^7 \times 5^{-6}}{5^{-4}}$.
Simplifions le numérateur avec $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :
$5^7 \times 5^{-6} = 5^{7+(-6)} = 5^{7-6} = 5^1 = 5$
L'expression est maintenant $C = \frac{5^1}{5^{-4}}$.
Enfin, utilisons la règle du quotient $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :
$C = 5^{1-(-4)} = 5^{1+4} = 5^5$
Donc, $C = 5^5 = 3125$. - Pour $D = \frac{(10^3)^2 \times 10^{-7}}{10^0 \times 10^2}$ :
Simplifions le numérateur :
$(10^3)^2 = 10^{3 \times 2} = 10^6$
Le numérateur devient $10^6 \times 10^{-7} = 10^{6+(-7)} = 10^{6-7} = 10^{-1}$.
Simplifions le dénominateur :
$10^0 = 1$ (par définition)
Le dénominateur devient $1 \times 10^2 = 10^2$.
L'expression est maintenant $D = \frac{10^{-1}}{10^2}$.
Enfin, utilisons la règle du quotient $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :
$D = 10^{-1-2} = 10^{-3}$
Donc, $D = 10^{-3} = 0{,}001$.
Questions fréquentes
Pourquoi $a^0 = 1$ et non $0$ ou $a$ ?
La définition $a^0 = 1$ est choisie pour que les règles de calcul des puissances restent cohérentes. Par exemple, si on applique la règle $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ avec $m=n$, on obtient $\frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^0$. Or, $\frac{a^m}{a^m} = 1$ (tout nombre non nul divisé par lui-même est égal à $1$). Donc, pour que $a^0$ soit égal à $1$, cette définition est nécessaire.
Comment calculer une puissance avec un exposant négatif, comme $2^{-3}$ ?
Un exposant négatif signifie que l'on prend l'inverse de la puissance avec l'exposant positif. La règle est $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Donc, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}$. Il ne faut pas confondre avec un nombre négatif : $2^{-3}$ n'est pas $-8$.
Les règles de puissance s'appliquent-elles aux nombres négatifs ?
Oui, les règles s'appliquent aux nombres négatifs, à condition que la base ne soit pas nulle. Par exemple, $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$. Et $(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$. Attention aux parenthèses : $-2^2 = -(2^2) = -4$, tandis que $(-2)^2 = 4$.
Peut-on simplifier $2^3 + 2^4$ ?
Non, il n'y a pas de règle simple pour additionner ou soustraire des puissances de même base. Il faut calculer chaque puissance séparément : $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$. Les règles de calcul des puissances s'appliquent uniquement pour les multiplications, divisions et puissances de puissances.
Pour aller plus loin
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