Définition
L'écart interquartile est une mesure de dispersion qui indique l'étendue des $50\%$ des valeurs centrales d'une série statistique. Il est défini comme la différence entre le troisième quartile ($Q_3$) et le premier quartile ($Q_1$). Plus l'écart interquartile est petit, plus les valeurs centrales de la série sont regroupées autour de la médiane.
Bon réflexe : Toujours ordonner la série avant de calculer les quartiles, c'est la première étape indispensable pour éviter les erreurs.
Méthode : Écart interquartile
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1. Ordonner la série
Il est essentiel de commencer par ranger toutes les valeurs de la série statistique par ordre croissant.
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2. Calculer le premier quartile ($Q_1$)
Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\%$ des données lui sont inférieures ou égales. Pour une série de $N$ valeurs, on calcule $N \times 0{,}25$.
- Si le résultat est un entier $k$, alors $Q_1$ est la $k$-ième valeur de la série ordonnée.
- Si le résultat n'est pas un entier, on l'arrondit à l'entier supérieur $k'$. Alors $Q_1$ est la $k'$-ième valeur de la série ordonnée.
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3. Calculer le troisième quartile ($Q_3$)
Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $75\%$ des données lui sont inférieures ou égales. Pour une série de $N$ valeurs, on calcule $N \times 0{,}75$.
- Si le résultat est un entier $k$, alors $Q_3$ est la $k$-ième valeur de la série ordonnée.
- Si le résultat n'est pas un entier, on l'arrondit à l'entier supérieur $k'$. Alors $Q_3$ est la $k'$-ième valeur de la série ordonnée.
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4. Calculer l'écart interquartile
L'écart interquartile est la différence entre $Q_3$ et $Q_1$: $E_I = Q_3 - Q_1$.
Exemple résolu
Voici les notes obtenues par 20 élèves à un devoir de mathématiques (sur 20) :
$12 \quad 8 \quad 15 \quad 10 \quad 18 \quad 7 \quad 13 \quad 11 \quad 9 \quad 16 \quad 14 \quad 12 \quad 6 \quad 10 \quad 17 \quad 11 \quad 13 \quad 9 \quad 15 \quad 14$
$12 \quad 8 \quad 15 \quad 10 \quad 18 \quad 7 \quad 13 \quad 11 \quad 9 \quad 16 \quad 14 \quad 12 \quad 6 \quad 10 \quad 17 \quad 11 \quad 13 \quad 9 \quad 15 \quad 14$
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1. Ordonner la série
On range les 20 notes par ordre croissant :
$6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 10 \quad 10 \quad 11 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 13 \quad 13 \quad 14 \quad 14 \quad 15 \quad 15 \quad 16 \quad 17 \quad 18$
$6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 10 \quad 10 \quad 11 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 13 \quad 13 \quad 14 \quad 14 \quad 15 \quad 15 \quad 16 \quad 17 \quad 18$
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2. Calculer le premier quartile ($Q_1$)
La série contient $N=20$ valeurs.
On calcule $N \times 0{,}25 = 20 \times 0{,}25 = 5$.
Le résultat est un entier, donc $Q_1$ est la $5$-ième valeur de la série ordonnée.
La $5$-ième valeur est $9$. Donc $Q_1 = 9$.
On calcule $N \times 0{,}25 = 20 \times 0{,}25 = 5$.
Le résultat est un entier, donc $Q_1$ est la $5$-ième valeur de la série ordonnée.
La $5$-ième valeur est $9$. Donc $Q_1 = 9$.
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3. Calculer le troisième quartile ($Q_3$)
On calcule $N \times 0{,}75 = 20 \times 0{,}75 = 15$.
Le résultat est un entier, donc $Q_3$ est la $15$-ième valeur de la série ordonnée.
La $15$-ième valeur est $14$. Donc $Q_3 = 14$.
Le résultat est un entier, donc $Q_3$ est la $15$-ième valeur de la série ordonnée.
La $15$-ième valeur est $14$. Donc $Q_3 = 14$.
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4. Calculer l'écart interquartile
L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1 = 14 - 9 = 5$.
L'écart interquartile des notes est de $5$. Cela signifie que $50\%$ des élèves ont des notes comprises entre $9$ et $14$ (inclus).
Piège fréquent en Seconde : Ordre des valeurs
- Oublier d'ordonner la série : Les quartiles doivent impérativement être calculés sur une série de données rangées par ordre croissant. Un oubli de cette étape conduit à des résultats erronés.
- Confondre l'indice et la valeur : Le calcul $N \times 0{,}25$ (ou $N \times 0{,}75$) donne la position de la valeur dans la série ordonnée, pas la valeur elle-même. Il faut ensuite lire la valeur correspondante.
- Erreur d'arrondi : Pour les quartiles, si le calcul $N \times 0{,}25$ ou $N \times 0{,}75$ n'est pas un entier, il faut toujours arrondir à l'entier supérieur pour trouver la position de la valeur.
Exercice type contrôle
Une entreprise a relevé le nombre d'appels téléphoniques reçus par jour pendant 15 jours :$25 \quad 32 \quad 18 \quad 40 \quad 28 \quad 35 \quad 22 \quad 30 \quad 29 \quad 38 \quad 20 \quad 31 \quad 27 \quad 33 \quad 26$
- Ordonner cette série de données.
- Déterminer le premier quartile ($Q_1$) et le troisième quartile ($Q_3$).
- Calculer l'écart interquartile et interpréter sa signification dans le contexte de l'exercice.
- Ordonner la série :
On range les 15 valeurs par ordre croissant :
$18 \quad 20 \quad 22 \quad 25 \quad 26 \quad 27 \quad 28 \quad 29 \quad 30 \quad 31 \quad 32 \quad 33 \quad 35 \quad 38 \quad 40$ - Déterminer $Q_1$ et $Q_3$ :
La série contient $N=15$ valeurs.- Pour $Q_1$ : On calcule $N \times 0{,}25 = 15 \times 0{,}25 = 3{,}75$.
Ce n'est pas un entier, on arrondit à l'entier supérieur, soit $4$.
$Q_1$ est la $4$-ième valeur de la série ordonnée, donc $Q_1 = 25$. - Pour $Q_3$ : On calcule $N \times 0{,}75 = 15 \times 0{,}75 = 11{,}25$.
Ce n'est pas un entier, on arrondit à l'entier supérieur, soit $12$.
$Q_3$ est la $12$-ième valeur de la série ordonnée, donc $Q_3 = 33$.
- Pour $Q_1$ : On calcule $N \times 0{,}25 = 15 \times 0{,}25 = 3{,}75$.
- Calculer l'écart interquartile et interpréter :
L'écart interquartile est $Q_3 - Q_1 = 33 - 25 = 8$.
Interprétation : L'écart interquartile est de $8$ appels. Cela signifie que sur $50\%$ des jours observés, le nombre d'appels reçus par l'entreprise est compris entre $25$ et $33$ (inclus).
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre l'étendue et l'écart interquartile ?
L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série. Elle donne une idée de la dispersion totale des données. L'écart interquartile, lui, se concentre sur la dispersion des $50\%$ des valeurs centrales, ce qui le rend moins sensible aux valeurs extrêmes (valeurs aberrantes).
Pourquoi arrondit-on toujours à l'entier supérieur pour trouver la position des quartiles si le calcul n'est pas entier ?
La définition des quartiles est la plus petite valeur telle qu'au moins $25\%$ (ou $75\%$) des données lui sont inférieures ou égales. Si $N \times 0{,}25 = 3{,}75$, cela signifie que $3$ valeurs ne suffisent pas à atteindre $25\%$. Il faut donc prendre la $4$-ième valeur pour s'assurer qu'au moins $25\%$ des données sont couvertes.
L'écart interquartile peut-il être égal à 0 ?
Oui, l'écart interquartile peut être égal à $0$. Cela se produit si $Q_1 = Q_3$. Cela signifie que $50\%$ des valeurs centrales de la série sont identiques, ce qui indique une très faible dispersion des données au centre de la série.
Est-ce que la médiane est toujours entre $Q_1$ et $Q_3$ ?
Oui, par définition, la médiane est la valeur qui partage la série en deux moitiés égales. $Q_1$ est la médiane de la première moitié et $Q_3$ est la médiane de la deuxième moitié. Donc, la médiane est toujours située entre $Q_1$ et $Q_3$ (ou égale à l'un d'eux si la série est très courte ou très concentrée).
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.