Définition
L'écart-type, noté $\sigma$ (lettre grecque sigma minuscule), est une mesure de la dispersion des valeurs d'une série statistique autour de sa moyenne. Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs sont dispersées. Plus il est petit, plus les valeurs sont regroupées autour de la moyenne. Il s'exprime dans la même unité que les données de la série. C'est la racine carrée de la variance $V$.
Méthode : Écart-type d'une série statistique
Calculer la moyenne $\bar{x}$
La moyenne $\bar{x}$ d'une série statistique est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs $N$. Si les valeurs $x_i$ ont des effectifs $n_i$, alors $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i x_i}{N}$$ où $N = \sum_{i=1}^{p} n_i$ est l'effectif total.
Calculer les écarts à la moyenne au carré
Pour chaque valeur $x_i$ de la série, on calcule l'écart à la moyenne $(x_i - \bar{x})$ puis on le met au carré : $(x_i - \bar{x})^2$. Si les valeurs ont des effectifs $n_i$, on multiplie chaque écart au carré par l'effectif correspondant : $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$.
Calculer la variance $V$
La variance $V$ est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. C'est la somme de tous les $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ divisée par l'effectif total $N$. $$V = \frac{\sum_{i=1}^{p} n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$$
Calculer l'écart-type $\sigma$
L'écart-type $\sigma$ est la racine carrée de la variance $V$. $$\sigma = \sqrt{V}$$
Exemple résolu
| Note $x_i$ | 8 | 10 | 11 | 12 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif $n_i$ | 2 | 3 | 1 | 2 | 1 | 1 |
Calculons $(x_i - \bar{x})^2$ et $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ :
| $x_i$ | 8 | 10 | 11 | 12 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_i - \bar{x}$ | $8-11=-3$ | $10-11=-1$ | $11-11=0$ | $12-11=1$ | $14-11=3$ | $15-11=4$ |
| $(x_i - \bar{x})^2$ | $(-3)^2=9$ | $(-1)^2=1$ | $0^2=0$ | $1^2=1$ | $3^2=9$ | $4^2=16$ |
| $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ | $2 \times 9 = 18$ | $3 \times 1 = 3$ | $1 \times 0 = 0$ | $2 \times 1 = 2$ | $1 \times 9 = 9$ | $1 \times 16 = 16$ |
La variance est $V = \frac{48}{10} = 4{,}8$.
Erreurs courantes dans le calcul de l'écart-type
- Oublier de mettre au carré les écarts à la moyenne : $(x_i - \bar{x})$ peut être négatif, mais $(x_i - \bar{x})^2$ est toujours positif ou nul. La variance ne peut pas être négative.
- Ne pas multiplier par l'effectif $n_i$ lorsque les données sont regroupées. Chaque valeur doit être prise en compte autant de fois qu'elle apparaît.
- Confondre variance et écart-type : l'écart-type est la racine carrée de la variance. La variance est en unité au carré (ex: points²), l'écart-type est dans l'unité des données (ex: points).
- Faire des arrondis trop tôt dans les calculs, surtout pour la moyenne. Garder le plus de décimales possible ou utiliser les valeurs exactes (fractions) jusqu'à la dernière étape.
Exercice type contrôle
Une entreprise fabrique des pièces métalliques. Le diamètre (en mm) de 8 pièces a été mesuré :$10{,}1\,; 9{,}8\,; 10{,}0\,; 10{,}2\,; 9{,}9\,; 10{,}1\,; 10{,}0\,; 9{,}9$.
- Calculer la moyenne $\bar{x}$ des diamètres de ces pièces.
- Calculer la variance $V$ de cette série.
- En déduire l'écart-type $\sigma$ (arrondir au centième).
- Calcul de la moyenne $\bar{x}$ :
Somme des diamètres : $10{,}1+9{,}8+10{,}0+10{,}2+9{,}9+10{,}1+10{,}0+9{,}9 = 80$.
Nombre de pièces : $N=8$.
$\bar{x} = \frac{80}{8} = 10$ mm. - Calcul de la variance $V$ :
On peut regrouper les données :$x_i$ $9{,}8$ $9{,}9$ $10{,}0$ $10{,}1$ $10{,}2$ $n_i$ 1 2 2 2 1
Calculons les carrés des écarts à la moyenne :$x_i$ $9{,}8$ $9{,}9$ $10{,}0$ $10{,}1$ $10{,}2$ $x_i - \bar{x}$ $9{,}8-10=-0{,}2$ $9{,}9-10=-0{,}1$ $10{,}0-10=0$ $10{,}1-10=0{,}1$ $10{,}2-10=0{,}2$ $(x_i - \bar{x})^2$ $(-0{,}2)^2=0{,}04$ $(-0{,}1)^2=0{,}01$ $0^2=0$ $0{,}1^2=0{,}01$ $0{,}2^2=0{,}04$ $n_i \times (x_i - \bar{x})^2$ $1 \times 0{,}04 = 0{,}04$ $2 \times 0{,}01 = 0{,}02$ $2 \times 0 = 0$ $2 \times 0{,}01 = 0{,}02$ $1 \times 0{,}04 = 0{,}04$
Somme des $n_i \times (x_i - \bar{x})^2 = 0{,}04+0{,}02+0+0{,}02+0{,}04 = 0{,}12$.
La variance est $V = \frac{0{,}12}{8} = 0{,}015$. - Calcul de l'écart-type $\sigma$ :
$\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{0{,}015} \approx 0{,}12247...$
Arrondi au centième, $\sigma \approx 0{,}12$ mm.
Questions fréquentes
À quoi sert l'écart-type en Seconde ?
Peut-on calculer l'écart-type avec une calculatrice ?
Quelle est la différence entre l'étendue et l'écart-type ?
L'écart-type peut-il être négatif ?
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
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