Définition
La médiane $M$ d'une série statistique est une valeur qui partage la série, ordonnée dans l'ordre croissant, en deux groupes de même effectif. Au moins $50\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $M$, et au moins $50\%$ des valeurs sont supérieures ou égales à $M$.
Le premier quartile $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $25\%$ des données lui soient inférieures ou égales.
Le troisième quartile $Q_3$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins $75\%$ des données lui soient inférieures ou égales.
Bon réflexe : Toujours commencer par ordonner la série statistique avant tout calcul de médiane ou de quartiles.
Méthode : Médiane et quartiles
1
1. Ordonner la série
Toutes les valeurs de la série doivent être rangées dans l'ordre croissant.
2
2. Calculer l'effectif total
On note $N$ l'effectif total de la série.
3
3. Déterminer la médiane $M$
- Si $N$ est impair ($N = 2k+1$), la médiane est la $(k+1)$-ième valeur.
- Si $N$ est pair ($N = 2k$), la médiane est n'importe quelle valeur comprise entre la $k$-ième et la $(k+1)$-ième valeur. Par convention, on prend souvent la moyenne de ces deux valeurs.
4
4. Déterminer le premier quartile $Q_1$
On calcule $P_1 = \frac{N}{4}$.
- Si $P_1$ est un entier, $Q_1$ est la $P_1$-ième valeur de la série ordonnée.
- Si $P_1$ n'est pas un entier, $Q_1$ est la valeur de la série ordonnée dont le rang est l'entier immédiatement supérieur à $P_1$.
5
5. Déterminer le troisième quartile $Q_3$
On calcule $P_3 = \frac{3N}{4}$.
- Si $P_3$ est un entier, $Q_3$ est la $P_3$-ième valeur de la série ordonnée.
- Si $P_3$ n'est pas un entier, $Q_3$ est la valeur de la série ordonnée dont le rang est l'entier immédiatement supérieur à $P_3$.
Exemple résolu
Voici les notes obtenues par 15 élèves à un devoir de mathématiques :
$12 \quad 8 \quad 15 \quad 10 \quad 11 \quad 13 \quad 9 \quad 14 \quad 7 \quad 12 \quad 10 \quad 16 \quad 9 \quad 11 \quad 13$
$12 \quad 8 \quad 15 \quad 10 \quad 11 \quad 13 \quad 9 \quad 14 \quad 7 \quad 12 \quad 10 \quad 16 \quad 9 \quad 11 \quad 13$
1
1. Ordonner la série
On range les notes dans l'ordre croissant :
$7 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 10 \quad 10 \quad 11 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 13 \quad 13 \quad 14 \quad 15 \quad 16$
$7 \quad 8 \quad 9 \quad 9 \quad 10 \quad 10 \quad 11 \quad 11 \quad 12 \quad 12 \quad 13 \quad 13 \quad 14 \quad 15 \quad 16$
2
2. Calculer l'effectif total
L'effectif total est $N = 15$ élèves.
3
3. Déterminer la médiane $M$
Puisque $N=15$ est impair, $N = 2 \times 7 + 1$. La médiane est la $(7+1)$-ième, c'est-à-dire la $8$-ième valeur de la série ordonnée.
La $8$-ième valeur est $11$.
Donc $M = 11$.
La $8$-ième valeur est $11$.
Donc $M = 11$.
4
4. Déterminer le premier quartile $Q_1$
On calcule $P_1 = \frac{N}{4} = \frac{15}{4} = 3{,}75$.
Puisque $3{,}75$ n'est pas un entier, $Q_1$ est la valeur de rang l'entier immédiatement supérieur à $3{,}75$, soit la $4$-ième valeur.
La $4$-ième valeur est $9$.
Donc $Q_1 = 9$.
Puisque $3{,}75$ n'est pas un entier, $Q_1$ est la valeur de rang l'entier immédiatement supérieur à $3{,}75$, soit la $4$-ième valeur.
La $4$-ième valeur est $9$.
Donc $Q_1 = 9$.
5
5. Déterminer le troisième quartile $Q_3$
On calcule $P_3 = \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 15}{4} = \frac{45}{4} = 11{,}25$.
Puisque $11{,}25$ n'est pas un entier, $Q_3$ est la valeur de rang l'entier immédiatement supérieur à $11{,}25$, soit la $12$-ième valeur.
La $12$-ième valeur est $13$.
Donc $Q_3 = 13$.
Puisque $11{,}25$ n'est pas un entier, $Q_3$ est la valeur de rang l'entier immédiatement supérieur à $11{,}25$, soit la $12$-ième valeur.
La $12$-ième valeur est $13$.
Donc $Q_3 = 13$.
Pour cette série de notes, la médiane est $M=11$, le premier quartile est $Q_1=9$ et le troisième quartile est $Q_3=13$.
Erreurs fréquentes avec les quartiles
- Ne pas ordonner la série : C'est l'erreur la plus courante. Les calculs de médiane et de quartiles sont faux si la série n'est pas rangée dans l'ordre croissant.
- Confondre rang et valeur : Le calcul de $N/4$ ou $3N/4$ donne le rang de la valeur (ou le rang à partir duquel on cherche la valeur), pas la valeur elle-même. Il faut ensuite lire la valeur correspondante dans la série ordonnée.
- Erreur d'arrondi pour les rangs : Si $N/4$ n'est pas un entier, il faut toujours prendre l'entier immédiatement supérieur, même si la décimale est $0{,}1$ (par exemple, pour $3{,}1$, on prend le $4$-ième rang).
- Calcul de la médiane pour $N$ pair : Si $N$ est pair, la médiane est une valeur entre les deux valeurs centrales. Ne pas prendre seulement l'une des deux, ou faire une moyenne sans le justifier.
Exercice type contrôle
Voici le nombre de livres lus par 20 élèves d'une classe pendant les vacances d'été :$3 \quad 5 \quad 2 \quad 4 \quad 3 \quad 6 \quad 2 \quad 5 \quad 4 \quad 3 \quad 7 \quad 2 \quad 5 \quad 4 \quad 3 \quad 6 \quad 2 \quad 5 \quad 4 \quad 3$
- Ordonner la série statistique.
- Déterminer la médiane $M$ de cette série.
- Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$.
- Ordonner la série :
On range les nombres de livres lus dans l'ordre croissant :
$2 \quad 2 \quad 2 \quad 2 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 4 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 5 \quad 6 \quad 6 \quad 7$ - Déterminer la médiane $M$ :
L'effectif total est $N = 20$.
Puisque $N=20$ est pair, $N = 2 \times 10$. La médiane est une valeur entre la $10$-ième et la $11$-ième valeur de la série ordonnée.
La $10$-ième valeur est $4$.
La $11$-ième valeur est $4$.
On peut prendre la moyenne de ces deux valeurs : $M = \frac{4+4}{2} = 4$.
La médiane est $M=4$. - Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ :
Pour $Q_1$ :
On calcule $P_1 = \frac{N}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
Puisque $5$ est un entier, $Q_1$ est la $5$-ième valeur de la série ordonnée.
La $5$-ième valeur est $3$.
Donc $Q_1 = 3$.
Pour $Q_3$ :
On calcule $P_3 = \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 20}{4} = \frac{60}{4} = 15$.
Puisque $15$ est un entier, $Q_3$ est la $15$-ième valeur de la série ordonnée.
La $15$-ième valeur est $5$.
Donc $Q_3 = 5$.
Questions fréquentes
Pourquoi la médiane n'est-elle pas toujours la moyenne ?
La médiane et la moyenne sont deux indicateurs de tendance centrale différents. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (très grandes ou très petites), tandis que la médiane ne l'est pas. La médiane indique la valeur 'du milieu' de la série ordonnée, ce qui est utile pour des séries avec des valeurs aberrantes.
Que signifie l'intervalle interquartile $[Q_1\,;Q_3]$ ?
L'intervalle interquartile $[Q_1\,;Q_3]$ contient au moins $50\%$ des valeurs centrales de la série. Son amplitude, $Q_3 - Q_1$, est appelée l'écart interquartile et mesure la dispersion des $50\%$ des données autour de la médiane. Plus l'écart est petit, plus les données centrales sont regroupées.
Comment choisir entre la médiane et la moyenne pour analyser une série ?
Si la série est symétrique et ne contient pas de valeurs extrêmes, la moyenne et la médiane sont souvent proches et toutes deux pertinentes. Si la série est asymétrique ou contient des valeurs extrêmes (par exemple, les salaires où quelques très hauts salaires tirent la moyenne vers le haut), la médiane est souvent un meilleur indicateur de la valeur 'typique' car elle est moins influencée par ces valeurs extrêmes.
Est-ce que $Q_1$ et $Q_3$ sont toujours des valeurs de la série ?
Oui, par définition dans le programme de Seconde, $Q_1$ et $Q_3$ sont toujours des valeurs de la série statistique ordonnée. Ce n'est pas le cas pour la médiane si $N$ est pair et que l'on prend la moyenne des deux valeurs centrales, mais pour les quartiles, on prend toujours une valeur existante de la série.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.