Expérience aléatoire, issues et événements – Fiche Maths Seconde

Q: Peut-on avoir un événement qui ne contient aucune issue ?

Oui, c'est l' événement impossible . Il est noté \emptyset (ensemble vide). Par exemple, lors du lancer d'un dé à six faces, l'événement 'obtenir 7' est impossible.

Définition

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît tous les résultats possibles. Chaque résultat possible est appelé une issue.
L'ensemble de toutes les issues est appelé l'univers de l'expérience, souvent noté $\Omega$ (oméga).
Un événement est un ensemble d'issues de l'expérience. Un événement est dit élémentaire s'il ne contient qu'une seule issue. L'événement certain contient toutes les issues de $\Omega$, et l'événement impossible ne contient aucune issue.

Bon réflexe : Toujours commencer par lister toutes les issues possibles pour bien définir l'univers $\Omega$ avant de s'intéresser aux événements.

Méthode : Expérience aléatoire, issues et événements

Identifier l'expérience aléatoire

Décrire clairement l'action réalisée (lancer un dé, tirer une carte, etc.) et s'assurer que le résultat est imprévisible.

Déterminer l'univers $\Omega$

Lister toutes les issues possibles de l'expérience. L'ordre n'a pas d'importance, mais il faut être exhaustif et ne pas répéter d'issues. Utiliser des accolades pour représenter l'ensemble des issues : $\Omega = \{issue_1, issue_2, ..., issue_n\}$.

Décrire un événement

Un événement est une partie de l'univers. Il est défini par une propriété. Par exemple, 'obtenir un nombre pair' lors du lancer d'un dé. Lister les issues qui réalisent cet événement.

Calculer le nombre d'issues

Compter le nombre d'éléments dans l'univers ou dans l'événement. On note $Card(\Omega)$ le nombre d'issues de l'univers et $Card(A)$ le nombre d'issues de l'événement $A$.

Exemple résolu

On lance un dé à six faces équilibré, dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. On observe le nombre obtenu sur la face supérieure.

Identifier l'expérience aléatoire

Lancer un dé à six faces. Le résultat est imprévisible, c'est bien une expérience aléatoire.

Déterminer l'univers $\Omega$

Les issues possibles sont les nombres $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
Donc, l'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Décrire l'événement A : 'obtenir un nombre pair'

Les nombres pairs parmi les issues sont $2, 4, 6$.
L'événement A est donc $A = \{2, 4, 6\}$.

Décrire l'événement B : 'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5'

Les nombres supérieurs ou égaux à $5$ parmi les issues sont $5, 6$.
L'événement B est donc $B = \{5, 6\}$.

Calculer le nombre d'issues pour $\Omega$, A et B

Pour $\Omega$: $Card(\Omega) = 6$.
Pour A: $Card(A) = 3$.
Pour B: $Card(B) = 2$.

L'univers de cette expérience est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. L'événement 'obtenir un nombre pair' est $A = \{2, 4, 6\}$ et l'événement 'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5' est $B = \{5, 6\}$.

Confondre issue et événement

Une issue est un résultat unique et indivisible de l'expérience (ex: 'obtenir 3').
Un événement est un ensemble d'issues, il peut en contenir une, plusieurs, ou aucune (ex: 'obtenir un nombre impair' est l'ensemble $\{1, 3, 5\}$).
Ne pas oublier les accolades pour les ensembles d'issues. Écrire $A = 2$ est faux si $A$ est un événement ; il faut écrire $A = \{2\}$ pour un événement élémentaire.

Exercice type contrôle

On tire au hasard une carte d'un jeu de $32$ cartes (les cartes sont : As, Roi, Dame, Valet, $10, 9, 8, 7$ pour chacune des $4$ couleurs : Cœur, Carreau, Pique, Trèfle).

Décrire l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire. Quel est le nombre d'issues ?
Décrire l'événement A : 'tirer une carte rouge'. Quel est le nombre d'issues de A ?
Décrire l'événement B : 'tirer un As'. Quel est le nombre d'issues de B ?

L'expérience aléatoire est le tirage d'une carte d'un jeu de $32$ cartes. Chaque carte est une issue possible.
L'univers $\Omega$ est l'ensemble des $32$ cartes du jeu. On peut le décrire comme :
$\Omega = \{\text{As de Cœur, Roi de Cœur, ..., 7 de Cœur, As de Carreau, ..., 7 de Carreau, As de Pique, ..., 7 de Pique, As de Trèfle, ..., 7 de Trèfle}\}$
Le nombre d'issues est $Card(\Omega) = 32$.
L'événement A : 'tirer une carte rouge'. Les cartes rouges sont les Cœurs et les Carreaux.
Il y a $8$ Cœurs et $8$ Carreaux.
Donc, $A = \{\text{As de Cœur, ..., 7 de Cœur, As de Carreau, ..., 7 de Carreau}\}$
Le nombre d'issues de A est $Card(A) = 8 + 8 = 16$.
L'événement B : 'tirer un As'. Il y a un As de chaque couleur.
Donc, $B = \{\text{As de Cœur, As de Carreau, As de Pique, As de Trèfle}\}$
Le nombre d'issues de B est $Card(B) = 4$.

Questions fréquentes

Comment savoir si une expérience est aléatoire ?

Une expérience est aléatoire si vous ne pouvez pas prédire son résultat avant de la réaliser, même si vous connaissez tous les résultats possibles. Par exemple, lancer une pièce de monnaie est aléatoire car on ne sait pas si elle tombera sur pile ou face.

L'ordre des issues dans l'univers a-t-il de l'importance ?

Non, l'ordre des issues n'a pas d'importance dans la description de l'univers ou d'un événement. Un ensemble est une collection d'éléments sans ordre particulier. Par exemple, $\{1, 2, 3\}$ est le même ensemble que $\{3, 1, 2\}$.

Qu'est-ce qu'un événement élémentaire ?

Un événement élémentaire est un événement qui ne contient qu'une seule issue. Par exemple, lors du lancer d'un dé, 'obtenir 4' est un événement élémentaire, noté $\{4\}$.

Peut-on avoir un événement qui ne contient aucune issue ?

Oui, c'est l'événement impossible. Il est noté $\emptyset$ (ensemble vide). Par exemple, lors du lancer d'un dé à six faces, l'événement 'obtenir 7' est impossible.

Pour aller plus loin

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