Moyenne et moyenne pondérée – Fiche Maths Seconde

Q: La moyenne peut-elle être une valeur qui n'est pas dans la série ?

Oui, tout à fait. Par exemple, si les notes sont 10 et 12, la moyenne est 11, qui n'est pas une note obtenue. Dans l'exemple des absences, la moyenne est 0{,}9 jours, ce qui n'est pas un nombre d'absence possible pour un employé.

Définition

La moyenne arithmétique d'une série statistique est la somme de toutes les valeurs de la série, divisée par le nombre total de valeurs. Elle est souvent notée $\bar{x}$.
Lorsque les valeurs sont regroupées avec des effectifs, on parle de moyenne pondérée. Chaque valeur est multipliée par son effectif (ou son coefficient), puis la somme de ces produits est divisée par la somme des effectifs.

Bon réflexe : Toujours vérifier que la moyenne calculée est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série.

Méthode : Moyenne et moyenne pondérée

Identifier les données

Repérer les valeurs de la série statistique et leurs effectifs (ou coefficients) associés. Si les valeurs sont brutes, chaque valeur a un effectif de $1$.

Calculer la somme des produits

Pour chaque valeur $x_i$ et son effectif $n_i$, calculer le produit $x_i \times n_i$. Ensuite, additionner tous ces produits : $\sum (x_i \times n_i)$.

Calculer la somme des effectifs

Additionner tous les effectifs (ou coefficients) : $\sum n_i$. C'est le nombre total de données.

Diviser pour obtenir la moyenne

La moyenne $\bar{x}$ est égale à la somme des produits divisée par la somme des effectifs : $$\bar{x} = \frac{\sum (x_i \times n_i)}{\sum n_i}$$

Exemple résolu

Un élève a obtenu les notes suivantes en mathématiques au cours d'un trimestre : $12$ (coefficient $3$), $9$ (coefficient $2$), $15$ (coefficient $3$), $10$ (coefficient $1$). Calculer sa moyenne trimestrielle en mathématiques.

Identifier les valeurs et leurs coefficients

Les notes sont les valeurs $x_i$ et les coefficients sont les effectifs $n_i$.
Notes : $12$, $9$, $15$, $10$.
Coefficients : $3$, $2$, $3$, $1$.

Calculer la somme des produits (note × coefficient)

Produits :
$12 \times 3 = 36$
$9 \times 2 = 18$
$15 \times 3 = 45$
$10 \times 1 = 10$
Somme des produits : $36 + 18 + 45 + 10 = 109$.

Calculer la somme des coefficients

Somme des coefficients : $3 + 2 + 3 + 1 = 9$.

Calculer la moyenne pondérée

Moyenne $\bar{x} = \frac{\text{Somme des produits}}{\text{Somme des coefficients}} = \frac{109}{9}$.

La moyenne trimestrielle de l'élève en mathématiques est d'environ $12{,}11$ (arrondie au centième).

Piège fréquent en Seconde : Oublier les coefficients

Ne pas prendre en compte les coefficients ou effectifs : si on calcule $(12+9+15+10)/4$, on obtient $11{,}5$, ce qui est incorrect car les notes n'ont pas la même importance.
Confondre la moyenne avec la médiane ou le mode : la moyenne est une mesure de tendance centrale mais n'est pas la seule.
Arrondir les résultats intermédiaires : il faut garder le maximum de précision pendant les calculs et n'arrondir que le résultat final, si demandé.

Exercice type contrôle

Une entreprise a relevé le nombre d'absences (en jours) de ses employés sur un mois :

Nombre de jours d'absence	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
Nombre d'employés	$25$	$12$	$8$	$3$	$2$

Quel est l'effectif total de l'entreprise ?
Calculer le nombre total de jours d'absence pour l'ensemble des employés.
Calculer le nombre moyen de jours d'absence par employé sur ce mois. Arrondir le résultat au centième.

Effectif total de l'entreprise :
Il s'agit de la somme des nombres d'employés :
$25 + 12 + 8 + 3 + 2 = 50$
L'effectif total de l'entreprise est de $50$ employés.
Nombre total de jours d'absence :
On multiplie chaque nombre de jours d'absence par le nombre d'employés correspondant, puis on additionne les résultats :
$(0 \times 25) + (1 \times 12) + (2 \times 8) + (3 \times 3) + (4 \times 2)$
$= 0 + 12 + 16 + 9 + 8$
$= 45$
Le nombre total de jours d'absence est de $45$ jours.
Nombre moyen de jours d'absence par employé :
La moyenne est le nombre total de jours d'absence divisé par l'effectif total :
$\bar{x} = \frac{45}{50} = 0{,}9$
Le nombre moyen de jours d'absence par employé est de $0{,}9$ jours. (L'arrondi au centième n'est pas nécessaire ici car le résultat est exact.)

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre moyenne et moyenne pondérée ?

La moyenne pondérée est un cas général de la moyenne. Si toutes les valeurs ont le même poids (le même effectif ou coefficient), la moyenne pondérée se simplifie en la moyenne arithmétique simple. Si les valeurs ont des poids différents, il faut utiliser la formule de la moyenne pondérée.

La moyenne peut-elle être une valeur qui n'est pas dans la série ?

Oui, tout à fait. Par exemple, si les notes sont $10$ et $12$, la moyenne est $11$, qui n'est pas une note obtenue. Dans l'exemple des absences, la moyenne est $0{,}9$ jours, ce qui n'est pas un nombre d'absence possible pour un employé.

Faut-il toujours arrondir la moyenne ?

Non, il faut arrondir seulement si la consigne le demande et à la précision spécifiée (par exemple, au dixième, au centième). Si le résultat est un nombre décimal exact, il n'y a pas lieu d'arrondir.

Comment calculer une moyenne avec des pourcentages ?

Les pourcentages peuvent être considérés comme des coefficients. Par exemple, si $60\%$ des élèves ont eu $12$ et $40\%$ ont eu $15$, la moyenne est $\frac{(12 \times 0{,}60) + (15 \times 0{,}40)}{0{,}60 + 0{,}40} = \frac{7{,}2 + 6}{1} = 13{,}2$. On peut aussi utiliser les pourcentages directement comme coefficients : $\frac{(12 \times 60) + (15 \times 40)}{60 + 40} = \frac{720 + 600}{100} = \frac{1320}{100} = 13{,}2$.

Pour aller plus loin

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