Situation d'équiprobabilité – Fiche Maths Seconde

Définition

Une situation d'équiprobabilité est une situation où toutes les issues d'une expérience aléatoire ont la même probabilité de se réaliser. Autrement dit, chaque issue a une « chance égale » de se produire. Si une expérience a $n$ issues équiprobables, la probabilité de chacune de ces issues est $\frac{1}{n}$.

Bon réflexe : Avant de calculer une probabilité, toujours vérifier si la situation est équiprobable ; si oui, la formule $\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ est votre alliée.

Méthode : Situation d'équiprobabilité

Identifier les issues

Déterminer toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. L'ensemble de ces issues est appelé l'univers, noté $\Omega$.

Vérifier l'équiprobabilité

S'assurer que chaque issue a la même probabilité de se produire. C'est souvent le cas avec des dés « équilibrés », des pièces « non truquées », ou des tirages « au hasard ».

Calculer la probabilité d'une issue

Si l'univers $\Omega$ contient $n$ issues équiprobables, la probabilité de chaque issue est $P(\text{issue}) = \frac{1}{n}$.

Calculer la probabilité d'un événement

Pour un événement $A$, la probabilité est donnée par la formule : $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues possibles}}$$ Cette formule est valable *uniquement* en situation d'équiprobabilité.

Exemple résolu

On lance un dé à six faces, équilibré, numéroté de 1 à 6. On s'intéresse à l'événement $A$ : « obtenir un nombre pair ».

Identifier les issues possibles

Les issues possibles sont les faces du dé : $1, 2, 3, 4, 5, 6$. L'univers est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Le nombre total d'issues est $n = 6$.

Vérifier l'équiprobabilité

Le dé est « équilibré », donc chaque face a la même probabilité d'apparaître. C'est une situation d'équiprobabilité.

Calculer la probabilité de chaque issue

Puisqu'il y a 6 issues équiprobables, la probabilité de chaque issue est $\frac{1}{6}$. Par exemple, $P(1) = \frac{1}{6}$, $P(2) = \frac{1}{6}$, etc.

Identifier les issues favorables à l'événement $A$

L'événement $A$ est « obtenir un nombre pair ». Les issues favorables sont $2, 4, 6$. Le nombre d'issues favorables est $3$.

Calculer la probabilité de l'événement $A$

En utilisant la formule pour l'équiprobabilité : $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues possibles}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

La probabilité d'obtenir un nombre pair en lançant un dé équilibré est $\frac{1}{2}$ ou $0{,}5$.

Piège fréquent en Seconde : Oublier la condition d'équiprobabilité

Appliquer la formule $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ sans vérifier que les issues sont équiprobables. Cette formule n'est valable *que* dans ce cas.
Confondre la probabilité d'une issue et la probabilité d'un événement. La probabilité d'une issue est toujours $\frac{1}{n}$ en équiprobabilité, tandis que la probabilité d'un événement peut être la somme de plusieurs probabilités d'issues.
Mal définir l'univers des possibles. Il faut lister toutes les issues distinctes et mutuellement exclusives.

Exercice type contrôle

Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher : 7 boules rouges (R), 5 boules vertes (V) et 3 boules bleues (B). On tire une boule au hasard de l'urne.

Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ? Combien y a-t-il d'issues possibles ?
Justifier que cette situation est une situation d'équiprobabilité.
Calculer la probabilité de tirer une boule rouge.
Calculer la probabilité de tirer une boule qui n'est pas bleue.

L'univers de cette expérience est l'ensemble de toutes les boules que l'on peut tirer. Puisqu'elles sont indiscernables au toucher, on considère chaque boule comme une issue distincte. Il y a $7+5+3 = 15$ boules au total. Donc, il y a 15 issues possibles.
La situation est une situation d'équiprobabilité car les boules sont « indiscernables au toucher » et le tirage se fait « au hasard ». Cela signifie que chaque boule a la même probabilité d'être tirée.
L'événement « tirer une boule rouge » a 7 issues favorables (les 7 boules rouges). Le nombre total d'issues est 15. En situation d'équiprobabilité, la probabilité est : $$P(\text{Rouge}) = \frac{\text{nombre de boules rouges}}{\text{nombre total de boules}} = \frac{7}{15}$$
L'événement « tirer une boule qui n'est pas bleue » signifie tirer une boule rouge ou une boule verte. Il y a 7 boules rouges et 5 boules vertes, soit $7+5=12$ issues favorables. La probabilité est : $$P(\text{non Bleue}) = \frac{\text{nombre de boules non bleues}}{\text{nombre total de boules}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$

Questions fréquentes

Comment savoir si une situation est équiprobable ?

Une situation est équiprobable si toutes les issues ont la même chance de se produire. Les mots clés sont souvent « dé équilibré », « pièce non truquée », « tirage au hasard », « boules indiscernables au toucher ».

Peut-on utiliser la formule $\frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$ si la situation n'est pas équiprobable ?

Non, absolument pas ! Cette formule est *spécifique* aux situations d'équiprobabilité. Si les issues n'ont pas la même probabilité, il faut utiliser d'autres méthodes, comme la somme des probabilités des issues élémentaires (si elles sont connues) ou des arbres de probabilité (vu en Première).

Quelle est la différence entre une issue et un événement ?

Une issue est un résultat élémentaire unique d'une expérience aléatoire (par exemple, obtenir 'face' en lançant une pièce). Un événement est un ensemble d'une ou plusieurs issues (par exemple, 'obtenir un nombre pair' en lançant un dé, qui regroupe les issues 2, 4 et 6).

La probabilité peut-elle être supérieure à 1 ?

Non, la probabilité d'un événement est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (inclus). Une probabilité de 0 signifie que l'événement est impossible, et une probabilité de 1 signifie qu'il est certain.

Pour aller plus loin

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