Définition
En probabilités, on considère une expérience aléatoire et son univers $\Omega$, l'ensemble de toutes les issues possibles. Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$.
- L'événement contraire d'un événement $A$, noté $\overline{A}$ (ou $A^c$), est l'ensemble de toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.
- L'intersection de deux événements $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des issues qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$.
- La réunion de deux événements $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des issues qui appartiennent à $A$ ou à $B$ (ou aux deux).
Bon réflexe : Pour bien comprendre, dessine un diagramme de Venn pour visualiser les événements et leurs relations (intersection, réunion, complémentaire).
Méthode : Événement contraire, intersection et réunion
1
Identifier l'univers $\Omega$
Lister toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire. C'est l'ensemble de référence.
2
Définir les événements
Écrire clairement les issues qui composent chaque événement $A$, $B$, etc.
3
Calculer l'événement contraire $\overline{A}$
Pour trouver $\overline{A}$, on prend toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. La probabilité est $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
4
Calculer l'intersection $A \cap B$
On cherche les issues qui sont communes aux deux événements $A$ et $B$. Si $A \cap B = \emptyset$ (ensemble vide), les événements sont dits incompatibles. Dans ce cas, $P(A \cap B) = 0$.
5
Calculer la réunion $A \cup B$
On liste toutes les issues qui sont dans $A$ ou dans $B$ (sans les répéter). La formule générale pour la probabilité est $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Exemple résolu
On lance un dé à six faces équilibré, numéroté de 1 à 6. On considère les événements suivants :
- $A$ : "Obtenir un nombre pair"
- $B$ : "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4"
1
Identifier l'univers $\Omega$
L'univers des issues est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
2
Définir les événements $A$ et $B$
L'événement $A$ est "Obtenir un nombre pair", donc $A = \{2, 4, 6\}$.
L'événement $B$ est "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4", donc $B = \{4, 5, 6\}$.
L'événement $B$ est "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4", donc $B = \{4, 5, 6\}$.
3
Déterminer l'événement contraire $\overline{A}$
$\overline{A}$ est l'ensemble des issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$.
$\overline{A} = \{1, 3, 5\}$. C'est l'événement "Obtenir un nombre impair".
$\overline{A} = \{1, 3, 5\}$. C'est l'événement "Obtenir un nombre impair".
4
Déterminer l'intersection $A \cap B$
$A \cap B$ est l'ensemble des issues communes à $A$ et $B$.
$A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{4, 5, 6\}$.
Les issues communes sont $4$ et $6$. Donc $A \cap B = \{4, 6\}$. C'est l'événement "Obtenir un nombre pair supérieur ou égal à 4".
$A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{4, 5, 6\}$.
Les issues communes sont $4$ et $6$. Donc $A \cap B = \{4, 6\}$. C'est l'événement "Obtenir un nombre pair supérieur ou égal à 4".
5
Déterminer la réunion $A \cup B$
$A \cup B$ est l'ensemble des issues qui sont dans $A$ ou dans $B$ (ou les deux).
$A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{4, 5, 6\}$.
On rassemble toutes les issues sans répétition : $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$. C'est l'événement "Obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur ou égal à 4".
$A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{4, 5, 6\}$.
On rassemble toutes les issues sans répétition : $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$. C'est l'événement "Obtenir un nombre pair ou un nombre supérieur ou égal à 4".
Ainsi, nous avons trouvé :
$\overline{A} = \{1, 3, 5\}$
$A \cap B = \{4, 6\}$
$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$
$\overline{A} = \{1, 3, 5\}$
$A \cap B = \{4, 6\}$
$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$
Confusion entre intersection et réunion
- Ne pas confondre "et" (intersection) avec "ou" (réunion). L'intersection $A \cap B$ signifie que les deux événements $A$ ET $B$ se réalisent. La réunion $A \cup B$ signifie que l'événement $A$ OU l'événement $B$ (ou les deux) se réalisent.
- Oublier de soustraire $P(A \cap B)$ lors du calcul de $P(A \cup B)$ si les événements ne sont pas incompatibles. La formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ n'est valable que si $A$ et $B$ sont incompatibles.
- Mal définir l'univers $\Omega$ : si toutes les issues possibles ne sont pas listées, les calculs d'événements contraires ou de probabilités seront faux.
Exercice type contrôle
Dans une classe de Seconde, il y a 30 élèves. 18 élèves étudient l'anglais (A), 15 élèves étudient l'espagnol (E) et 7 élèves étudient les deux langues. On choisit un élève au hasard dans cette classe.- Définir l'univers $\Omega$ et les événements $A$ et $E$ en termes de nombre d'issues.
- Calculer le nombre d'élèves qui n'étudient pas l'anglais.
- Calculer le nombre d'élèves qui étudient l'anglais ou l'espagnol.
- L'univers $\Omega$ est l'ensemble des 30 élèves de la classe. Donc $|\Omega| = 30$.
L'événement $A$ est "L'élève étudie l'anglais". $|A| = 18$.
L'événement $E$ est "L'élève étudie l'espagnol". $|E| = 15$.
L'événement "L'élève étudie les deux langues" correspond à l'intersection $A \cap E$. $|A \cap E| = 7$. - Le nombre d'élèves qui n'étudient pas l'anglais correspond à l'événement contraire $\overline{A}$.
Nombre d'élèves dans $\overline{A} = |\Omega| - |A| = 30 - 18 = 12$.
Il y a 12 élèves qui n'étudient pas l'anglais. - Le nombre d'élèves qui étudient l'anglais ou l'espagnol correspond à l'événement $A \cup E$.
On utilise la formule pour les cardinaux (nombre d'éléments) :
$|A \cup E| = |A| + |E| - |A \cap E|$
$|A \cup E| = 18 + 15 - 7$
$|A \cup E| = 33 - 7 = 26$.
Il y a 26 élèves qui étudient l'anglais ou l'espagnol.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre des événements incompatibles et des événements indépendants ?
Des événements sont incompatibles si leur intersection est vide, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps ($A \cap B = \emptyset$). Par exemple, "obtenir un nombre pair" et "obtenir un nombre impair" avec un dé sont incompatibles. Des événements sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. En Seconde, on utilise souvent l'indépendance dans des situations simples comme des tirages avec remise. La notion formelle d'indépendance ($P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$) est approfondie en Première.
Comment savoir si je dois utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ ou $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ?
La formule générale est toujours $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. La formule simplifiée $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ n'est valable que dans un cas particulier : lorsque les événements $A$ et $B$ sont incompatibles. Dans ce cas, $A \cap B = \emptyset$, et donc $P(A \cap B) = 0$. Si vous n'êtes pas sûr, utilisez toujours la formule générale, elle fonctionnera dans tous les cas.
L'événement contraire $\overline{A}$ est-il toujours le complémentaire de $A$ ?
Oui, l'événement contraire $\overline{A}$ est par définition le complémentaire de l'événement $A$ par rapport à l'univers $\Omega$. Il contient toutes les issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$. C'est pourquoi $P(A) + P(\overline{A}) = 1$.
Peut-on avoir plus de deux événements pour l'intersection ou la réunion ?
Oui, on peut définir l'intersection ou la réunion de trois événements ou plus. Par exemple, $A \cap B \cap C$ représente les issues communes aux trois événements $A$, $B$ et $C$. $A \cup B \cup C$ représente les issues qui sont dans $A$ ou dans $B$ ou dans $C$ (ou dans plusieurs d'entre eux). Cependant, les formules de probabilités pour plus de deux événements deviennent plus complexes et ne sont pas au programme de Seconde.
Pour aller plus loin
Le passage en Seconde est difficile ?
Adil accompagne les élèves de Seconde, à domicile dans le Val d'Oise ou en ligne. Un seul prof, du premier cours jusqu'au Bac.