Définition
Une loi de probabilité sur un ensemble fini $\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ (univers des possibles) associe à chaque issue $e_i$ un nombre $p_i$ appelé probabilité de l'issue. Ces probabilités doivent vérifier deux conditions :
1. Pour chaque issue $e_i$, $0 \leq p_i \leq 1$.
2. La somme des probabilités de toutes les issues est égale à $1$ : $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.
La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le composent.
Méthode : Loi de probabilité sur un ensemble fini
Définir l'univers
Identifier toutes les issues possibles de l'expérience aléatoire et les regrouper dans l'ensemble $\Omega = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}$.
Associer une probabilité à chaque issue
Déterminer la probabilité $p_i$ de chaque issue $e_i$. Si l'expérience est équiprobable (chaque issue a la même chance de se produire), alors $p_i = \frac{1}{n}$ pour chaque issue $e_i$, où $n$ est le nombre total d'issues.
Vérifier les conditions
S'assurer que toutes les probabilités $p_i$ sont comprises entre $0$ et $1$, et que leur somme est égale à $1$. Si ce n'est pas le cas, la loi de probabilité est incorrecte.
Calculer la probabilité d'un événement
Pour un événement $A$, identifier les issues qui le réalisent. La probabilité de $A$, notée $P(A)$, est la somme des probabilités de ces issues. Si l'expérience est équiprobable, $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Exemple résolu
$P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1$
$0{,}1 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}15 + 0{,}2 + P(6) = 1$
$0{,}8 + P(6) = 1$
$P(6) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.
$P(A) = P(2) + P(4) + P(6)$
$P(A) = 0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}2$
$P(A) = 0{,}5$.
Piège fréquent en Seconde : Oublier la somme des probabilités
- Ne pas vérifier que la somme des probabilités de toutes les issues est égale à $1$. C'est une condition fondamentale pour qu'une loi de probabilité soit valide.
- Confondre la probabilité d'une issue avec le nombre de fois qu'elle apparaît dans une série d'expériences (fréquence). La probabilité est une valeur théorique.
- Appliquer la formule d'équiprobabilité $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ à une expérience qui n'est pas équiprobable (comme un dé truqué).
Exercice type contrôle
Une urne contient des boules rouges (R), vertes (V) et bleues (B). On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule rouge est $P(R) = 0{,}4$. La probabilité de tirer une boule verte est $P(V) = 0{,}3$.- Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?
- On considère l'événement $E$ : "ne pas tirer une boule rouge". Calculer $P(E)$.
- Est-ce une situation d'équiprobabilité ? Justifier la réponse.
- L'univers des possibles est $\Omega = \{R, V, B\}$. La somme des probabilités doit être égale à $1$.
$P(R) + P(V) + P(B) = 1$
$0{,}4 + 0{,}3 + P(B) = 1$
$0{,}7 + P(B) = 1$
$P(B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$.
La probabilité de tirer une boule bleue est $0{,}3$. - L'événement $E$ : "ne pas tirer une boule rouge" est l'événement contraire de $R$. Il est composé des issues $V$ et $B$.
$P(E) = P(V) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}3 = 0{,}6$.
On peut aussi utiliser la formule de l'événement contraire : $P(E) = 1 - P(R) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.
La probabilité de ne pas tirer une boule rouge est $0{,}6$. - Non, ce n'est pas une situation d'équiprobabilité.
En effet, les probabilités des issues ne sont pas égales : $P(R) = 0{,}4$, $P(V) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}3$. Si c'était équiprobable, chaque probabilité serait $\frac{1}{3} \approx 0{,}333...$.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une expérience aléatoire ?
Quelle est la différence entre une issue et un événement ?
Comment savoir si une expérience est équiprobable ?
Peut-on avoir une probabilité négative ou supérieure à 1 ?
Pour aller plus loin
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